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2. Exercice de synthèse n°2 : vecteurs.

 Soient A(-2;3), B(-8;-1), C(-2;-5) trois points du plan. On s’intéresse au triangle ABC et à son centre de gravité G.

  1. Construire le triangle ABC le repère ci-dessous. On complètera la figure au fur et à mesure.

Pour placer A, cliquer gauche sur le deuxième onglet en haut à gauche  , sélectionner Point dans le menu déroulant puis cliquer gauche  dans le repère au point de coordonnées (-2;3) . Procéder de même pour les points B et C.

Pour tracer le triangle ABC, cliquer gauche sur le cinquième onglet en haut à gauche  , sélectionner Polygone dans le menu déroulant puis cliquer gauche  dans le repère sur le point A, le point B, le point C et à nouveau sur le point A.

correction

2. a. Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu de [BC] qu’on appelera I.

Pour placer I, cliquer gauche sur le deuxième onglet en haut à gauche  , sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant puis cliquer gauche  dans le repère sur le point  B et sur le point C.

Le logiciel le nomme D, cliquer droit sur ce point et sélectionner Renommer dans le menu déroulant puis l’appeler I.

correction

2. b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point G défini par l’égalité vectorielle suivante :  \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}.

Pour construire le point G défini par l’égalité vectorielle \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI} 

Cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point  A  et sur le point I .

Cliquer gauche sur le 6ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Cercle ( centre-rayon) dans le menu déroulant.

Dans le repère cliquer gauche sur le point  A  et écrire  2AI/3 dans la case Rayon .

On choisit ensuite le point d’intersection du cercle et de la droite pour lequel \overrightarrow{AG} et \overrightarrow{AI} ont même sens car \frac{2}{3} est positif.

J’obtiens alors le point G.

correction

3. a. Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu de [AB] qu’on appelera K.

Pour placer K, cliquer gauche sur le deuxième onglet en haut à gauche  , sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant puis cliquer gauche  dans le repère sur le point  A et sur le point B.

Le logiciel le nomme E, cliquer droit sur ce point et sélectionner Renommer dans le menu déroulant puis l’appeler K.

correction

3.b. Montrer que les points  C,K,G sont alignés.

Cliquer gauche sur le 3ème onglet en partant de la gauche et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer gauche sur le point  C  et sur le point K. S’assurer que cette droite passe par G.

correction

4. Montrer par le calcul que   \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

On place le point I et on lit ses coordonnées (-5;-3) dans la colonne de gauche ou dans le repère.

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et C ainsi

\hspace{0.8cm} x_{B} y_{B} \hspace{1.1cm} x_{C} y_{C}

\hspace{0.2cm} B(-8;-1) \hspace{0.4cm} C(-2;-5)

On écrit la formule du cours :

x_I=\frac {x_B+x_C}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_B+y_C}{2}

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

x_I=\frac {(-8)+(-2)}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {(-1)+(-5)}{2}

On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul ((-8)+(-2))/2 en utilisant les parenthèses « invisibles  » qui entourent le numérateur. Si vous tapez (-8)+(-2)/2, vous obtiendrez -9 car la machine calculera (-2)/2 en priorité ce qui est faux

x_I=\frac {-10}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {-6}{2}

x_I=-5\hspace {2cm}y_I=-3

Donc I(-5;-3)

 

On construit le point G et on peut conjecturer ses coordonnées : (-4;-1).

On cherche les coordonnées du point G, comme on ne les connaît pas, on les appelle  x et y.

Pour ce faire on va calculer les coordonnées de \overrightarrow{AG} et de \frac{2}{3}\overrightarrow{AI} et utiliser le fait que leurs coordonnées sont égales pour obtenir deux équations du premier degré.

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AG}.

Je repère les coordonnées des points A et G.

\hspace{0.8cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{1cm}x_{G}\hspace{0.2cm}y_{G}

\hspace{0.3cm}A(-2;3)\hspace{1cm}G(x;y)

J’écris la formule : \overrightarrow{AG}(x_{G}-x_{A};y_{G}-y_{A})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{AG}(x-(-2);y-3)

\overrightarrow{AG}(x+2;y-3)

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AI}.

Je repère les coordonnées des points A et I.

\hspace{0.8cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{1.3cm}x_{I}\hspace{0.4cm}y_{I}

\hspace{0.3cm}A(-2;3)\hspace{1cm}I(-5;-3)

J’écris la formule : \overrightarrow{AI}(x_{I}-x_{A};y_{I}-y_{A})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{AI}((-5)-(-2);(-3)-3)

\overrightarrow{AI}(-5+2;-3-3)

\overrightarrow{AI}(-3;-6)

\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}(\frac{2}{3}\times (-3);\frac{2}{3}\times(-6))

\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}(-2;-4)

L’abscisse de \overrightarrow{AG} est égale à l’abscisse de \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}. Donc :

On veut résoudre :

x+2=-2.

C’est une équation du premier degré.

2 n’est pas à sa place, j’enlève 2  de chaque côté .

x=-2-2\\x=-4

L’ordonnée de \overrightarrow{AG} est égale à l’ordonnée de \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}. Donc :

On veut résoudre :

y-3=-4.

C’est une équation du premier degré.

-3 n’est pas à sa place, j’ajoute  3  de chaque côté .

y=-4+3\\y=-1

Donc le point G a pour coordonnées  (-4;-1).

=

On place  K le milieu de [AB] on lit ses coordonnées (-5;1) dans la colonne de gauche ou dans le repère.

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi

\hspace{0.8cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{B} y_{B}

\hspace{0.2cm} A(-2;3) \hspace{0.4cm} B(-8;-1)

On écrit la formule du cours :

x_K=\frac {x_A+x_B}{2}\hspace {2cm}y_K=\frac {y_A+y_B}{2}

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

x_K=\frac {(-2)+(-8)}{2}\hspace {2cm}y_K=\frac {3+(-1)}{2}

On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul ((-8)+(-2))/2 en utilisant les parenthèses « invisibles  » qui entourent le numérateur. Si vous tapez (-8)+(-2)/2, vous obtiendrez -9 car la machine calculera (-2)/2 en priorité ce qui est faux

x_K=\frac {-10}{2}\hspace {2cm}y_K=\frac {2}{2}

x_K=-5\hspace {2cm}y_K=1

Donc K(-5;1)

 

Nous allons d’abord traduire la phrase : les points C,K,G sont alignés

Langage des points et des droites

les points C, K, G sont alignés

Langage des vecteurs

les vecteurs \overrightarrow{CK} et \overrightarrow{CG} sont colinéaires.

Langage des coordonnées

le déterminant de \overrightarrow{CK} et \overrightarrow{CG} est nul.

Remarque : comme il y a trois points et deux vecteurs, un des trois points apparaîtra deux fois ( ici C). Le mieux est de choisir celui dont les coordonnées sont les plus simples : pas de fraction , éventuellement un ou des zéros et plutôt des nombres positifs. Ici peu importe, il n’y a pas de coordonnées plus intéressantes que d’autres.

Pour savoir si les points C, K, G sont alignés,

nous allons regarder si les vecteurs \overrightarrow{CK} et \overrightarrow{CG} sont colinéaires

Ou regarder si det(\overrightarrow{CK},\overrightarrow{CG})=0

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CK}.

Je repère les coordonnées des points C et K.

\hspace{2.3cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}\hspace{1cm}x_{K}\hspace{0.2cm}y_{K}

\hspace{1.8cm}C(-2;-5)\hspace{0.4cm}K(-5;1)

J’écris la formule : \overrightarrow{CK}(x_{K}-x_{C};y_{K}-y_{C})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{CK}((-5)-(-2);1-(-5))

\overrightarrow{CK}(-5+2;1+5)

\overrightarrow{CK}(-3;6)

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CG}.

Je repère les coordonnées des points C et G.

\hspace{2.3cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}\hspace{1cm}x_{G}\hspace{0.2cm}y_{G}

\hspace{1.8cm}C(-2;-5)\hspace{0.4cm}G(-4;-1)

J’écris la formule : \overrightarrow{CG}(x_{G}-x_{C};y_{G}-y_{C})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{CG}((-4)-(-2);(-1)-(-5))

\overrightarrow{CG}(-4+2;-1+5)

\overrightarrow{CG}(-2;4)

Calculons maintenant det(\overrightarrow{CK},\overrightarrow{CG})

det(\overrightarrow{CK},\overrightarrow{CG})=-12+12

det(\overrightarrow{CK},\overrightarrow{CG})=0

Donc les vecteurs \overrightarrow{CK} et \overrightarrow{CG} sont colinéaires.

Donc les points C, K, G sont alignés.

 

 

On va calculer les coordonnées de \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} et on va trouver (0;0).

D’après la question 2b, \overrightarrow{AG}(-2;-4) donc \overrightarrow{GA}(2;4)

D’après la question 3b, \overrightarrow{CG}(-2;4) donc \overrightarrow{GC}(2;-4)

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{GB}.

Je repère les coordonnées des points G et B.

\hspace{2.1cm}x_{G}\hspace{0.2cm}y_{G}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}

\hspace{1.8cm}G(-4;-1)\hspace{2cm}B(-8;-1)

J’écris la formule : \overrightarrow{GB}(x_{B}-x_{G};y_{B}-y_{G})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{GB}((-8)-(-4);(-1)-(-1))

\overrightarrow{GB}(-8+4;-1+1)

\overrightarrow{GB}(-4;0)

On en déduit les coordonnées de la somme des trois vecteurs :

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}(2+2+(-4);4+(-4)+0)\\\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}(0;0)

On a bien montré que :

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.