T. Exercice sur les suites (page Facebook)

ANALYSE, Niveau terminale spécialité, Suites

On s’intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d’individus diminue de façon inquiétante.

Au début de l’an $2000$ , on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de
tortues par la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=0.3$ et $u_{n+1}=0.9u_{n}(1-u_n)$
où pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ représente le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année $2000+n$ .

Partie A : avec un tableur.

Saisir la bonne formule dans la cellule $B3$ et la copier vers le bas pour générer les termes de la suite $(u_n)$ .

2. A l’aide du tableur obtenu à la question précédente, conjecturer la limite de la suite $(u_n)$ .

Partie B : avec la courbe de la fonction $f(x)=0.9x(1-x)$ et la droite d’équation $y=x$ .

Placer de façon géométrique à l’aide des courbes ci-dessous, les termes $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ sur l’axe des abscisses.

Partie C : avec le calcul.

On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n}$ et $1-u_{n}$ appartiennent à l’intervalle $]0;1[$ .
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $0< u_{n+1}< 0.9 u_n$ .

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , $0\leq u_{n}\leq 0.3\times 0.9^n$ .

3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ . Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues ?