Sommaire
Rappels de première
On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions de référence sur leurs ensembles de définition.
On a ajouté la fonction logarithme népérien qu’on étudiera en cours d’année.
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions sur leurs ensembles de définition
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u’+v’ |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u’ |
un produit de deux fonctions u\times v | u’\times v+u\times v’ |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u’}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} |
Exercice n°1 : calculer des dérivées comme en première.
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= x^3-2x^2+5 pour x\in \mathbf{R}
2. f(x)= 5x^2-2x+\sqrt{5} pour x\in \mathbf{R}
3. f(x)= \frac{3}{x-1} pour x\in \mathbf{R} privé de 1
4. f(x)= 8\sqrt{x} pour x\in ]0;+\infty[
5. f(x)= x^2\sqrt{x} pour x\in ]0;+\infty[
6. f(x)= x^3e^x pour x\in \mathbf{R}
7. f(x)= \frac{2x-1}{x-2} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
8. f(x)= \frac{3x-4}{x^2-1} pour x\in \mathbf{R} privé de -1 et de 1
Compléments de terminale
Définition d’une fonction composée.
Soient u et v deux fonctions définies sur I et J.
La fonction composée v\circ u est définie par v\circ u ( x)=v(u(x)).
L’ensemble de définition de v\circ u est l’ensemble des réels x tels que x \in I et u(x) \in J.
Exercice n°2 : composer des fonctions.
Soient u définie sur \mathbf{R} par u(x)=2x-4, v définie sur [0;+\infty[ par v(x)=\sqrt{x} et
w définie sur ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ par w(x)=\frac{1}{x}.
- Préciser l’ensemble de définition de la fonction v\circ u et déterminer v\circ u(x) en fonction de x
2. Préciser l’ensemble de définition de la fonction u\circ v et déterminer u\circ v(x) en fonction de x
3. Préciser l’ensemble de définition de la fonction u\circ w et déterminer u\circ w(x) en fonction de x
4. Préciser l’ensemble de définition de la fonction w\circ u et déterminer w\circ u(x) en fonction de x
5. Préciser l’ensemble de définition de la fonction v\circ w et déterminer v\circ w(x) en fonction de x
6. Préciser l’ensemble de définition de la fonction w\circ v et déterminer w\circ v(x) en fonction de x
Exercice n°3 : décomposer des fonctions.
Décomposer chacune des fonctions suivantes sous la forme v\circ u où u et v sont des fonctions de référence.
- f(x)=2x^2-3.
2. f(x)=e^{2x+1}.
3.f(x)=\frac{1}{2x+6}.
4.f(x)=5\sqrt{x}-10.
5.f(x)=(2x-4)^2.
6.f(x)=-3e^x-4.
Dérivée d’une fonction composée.
Soient u une fonction dérivable sur I et v une fonction dérivable sur J telles que x \in I et u(x) \in J.
La fonction v\circ u est dérivable et on a ( v\circ u)'(x)= (v’\circ u)\times u’.
Exercice n°4 : dériver la composée de deux fonctions.
En utilisant les décompositions obtenues à l’exercice n°3, calculer f'(x)dans chaque cas à l’aide de la propriété précédente.
1. f(x)=e^{2x+1}.
2.f(x)=\frac{1}{2x+6}.
3.f(x)=\sqrt{5x-10}.
4.f(x)=(2x-4)^2.
Cas particuliers de fonctions composées.
- La fonction f définie sur I par f(x)=e^{u(x)} est dérivable sur I et f'(x)=u'(x)e^{u(x)}
- La fonction f définie sur I par f(x)=u^2(x) est dérivable sur I et f'(x)=2u'(x)u^2(x)
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v’\circ u)\times u’ |
| u^2 | 2u’u |
| u^3 | 3u’u^2 |
| u^n | nu’u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u’}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u’}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u’sin(u) |
| sin(u) | u’cos(u) |
| e^{u} | u’e^{u} |
| ln(u) | \frac{u’}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu’}{u^{n+1}} |
Exercice n°5
En utilisant (v\circ u)’= (v’\circ u)\times u’ , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= \sqrt{6x-12} pour x\in [2;+\infty[
2. f(x)= (2x+5)^7 pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°6
En utilisant (u^2)’= 2u’u , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= (2x-1)^2 pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= (e^x+x)^2 pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°7
En utilisant (u^3)’= 3u’u , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= (2x^2-x)^3 pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= (\sqrt(x))^3 pour x\in ]0;+\infty[
Exercice n°8
En utilisant (\frac{1}{u})’= -\frac{u’}{u^2} , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=\frac{1}{x^2} pour x\in ]0;+\infty[
2.f(x)= \frac{1}{e^x+x^2} pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°9
En utilisant (\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}} , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=\sqrt{1-x^2} pour x\in ]-1;1[
2.f(x)= \sqrt{2x-6} pour x\in ]3;+\infty[
Exercice n°10
En utilisant (sin(u))’=u’cos(u) , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=sin(2x+\pi) pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= sin(2\pi-x) pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°11
En utilisant (cos(u))’=-u’sin(u) , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=cos(-x+\pi) pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= cos(2x+\pi) pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°12
En utilisant ( \frac{1}{u^{n}(x)})'(x)= -\frac{nu'(x)}{u^{n+1}(x)} , calculer f'(x) dans chaque cas
- f(x)=\frac{1}{(3x-1)^3} pour x\in ]\frac{1}{3};+\infty[
2.f(x)= \frac{1}{(-x^2+1)^4} pour x\in ]-1;1[
Exercice n°13
En utilisant (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}} , calculer f'(x) dans chaque cas
- f(x)= e^{x^2-6} pour x\in \mathbf{R}
2. f(x)= e^{\sqrt{x}} pour x\in [0;+\infty[
