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T. Compléments de dérivation : convexité d’une fonction

Sommaire

Convexité d’une fonction

Définition : sécante

Soient deux points A et B situés sur la courbe représentative d’une fonction f alors la droite (AB) est appelée sécante. 

Définitions : convexe et concave

Soit une fonction f et C_f sa courbe représentative dans un repère.

  • f est convexe sur un intervalle I si pour tout x\in I , C_f est en-dessous de ses sécantes.
  • f est concave sur un intervalle I si pour tout x\in I , C_f est au-dessus de ses sécantes.

Exemple n°1 

La fonction carré définie sur \mathbf{R} est convexe. Pour s’en convaincre, on peut déplacer les points A et B sur la courbe et constater que la courbe C_f est en-dessous de ses sécantes.

Pour cela, cliquer sur le premier onglet en haut à gauche ( la flèche) et en sélectionnant Déplacer dans le menu déroulant. Ensuite dans le repère placer la flèche sur un des deux points et le bouger.

Exemple n°2 

La fonction cube définie sur \mathbf{R} est convexe sur [0;+\infty[ et concave sur ]-\infty;0]. Pour s’en convaincre, on peut déplacer les points A et B sur la courbe ( à droite de l’axe des ordonnées) et constater que la courbe C_f est en-dessous de ses sécantes  et au-dessus de ses sécantes à gauche de l’axe des ordonnées.

Pour cela, cliquer sur le premier onglet en haut à gauche ( la flèche) et en sélectionnant Déplacer dans le menu déroulant. Ensuite dans le repère placer la flèche sur un des deux points et le bouger.

Exercice n°1 

A l’aide des trois graphiques ci-dessous déterminer si les fonctions sont concaves ou convexes. Si la concavité change, préciser les intervalles où f est concave et où f est convexe.

correction
correction
correction

Propriétés : inégalités

  • Si f est convexe sur un intervalle I si pour tout x\in I , pour tout y\in I et pour tout t\in I [0;1] , on a :

f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).

  • Si f est concave sur un intervalle I si pour tout x\in I , pour tout y\in I et pour tout t\in I [0;1] , on a :

f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).

Exercice n°2

En utilisant le fait que la fonction carré est convexe sur \mathbf{R} , démontrer que si a et b sont strictements positifs alors 

(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2).

correction

Exercice n°3

En utilisant le fait que la fonction racine carrée est concave sur ]0;+\infty[ , démontrer que si a et b sont strictements positifs alors 

\sqrt{a+b}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}).

correction

Fonction convexe et dérivées première et dérivée seconde

Théorème

Soit une fonction f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et f’ sa fonction dérivée.

  • La fonction f est convexe sur I si et seulement si la fonction f’ est croissante.
  • La fonction f est concave sur I si et seulement si la fonction f’ est décroissante.

Définition : dérivée seconde

Soit une fonction f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et f’ sa fonction dérivée.

On appelle dérivée seconde de la fonction f notée f", la dérivée de la dérivée  f’.

Exercice n°4 

Calculer la dérivée seconde de la fonction f notée f" dans chaque cas.

f(x)=e^x pour x \in \mathbf{R}

correction

f(x)=\sqrt{x} pour x \in ]0;+\infty[

correction

f(x)=\frac{1}{x} pour x \in ]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[

correction

Théorème : convexité et dérivée seconde

Soit une fonction f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et f" sa fonction dérivée seconde.

  • f est convexe si et seulement si pour tout réel x de I, f"(x) est positive.
  • f est concave si et seulement si pour tout réel x de I, f"(x) est négative.

Exercice n°5 

Retrouver les résultats de l’exercice n°1 en étudiant le signe des dérivées seconde obtenues à l’exercice n°4.

f(x)=e^x pour x \in \mathbf{R}

correction

f(x)=\sqrt{x} pour x \in ]0;+\infty[

correction

f(x)=\frac{1}{x} pour x \in ]-\infty;0[\cup ]0;+\infty[

correction

Utiliser la page Géogébra pour ci-dessous pour vérifier si les calculs de de dérivées sont exacts. Pour cela, saisir, par exemple  \frac{2}{x^3}>0 sur la ligne n°1 et cliquer sur le 7ème onglet (X=). Apparait alors à l’écran Résoudre: {x>0}.

Tangente et point d’inflexion

Théorème :  dérivée seconde et tangente

Soit une fonction f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et f" sa fonction dérivée seconde.

si f" est positive sur I alors la courbe de la fonction f est située au-dessus de ses tangentes.

Illustration

On s’intéresse à la fonction exponentielle. On a établi précédemment que sa dérivée seconde vaut e^x et qu’ elle est positive.

Cliquer sur le premier onglet à gauche et sélectionner Déplacer dans le menu déroulant. Puis dans le repère déplacer le point A et s’assurer que la courbe reste au-dessus de ses tangentes. 

Remarque

si f" est négative sur I alors la courbe de la fonction f est située en-dessous de ses tangentes.

Illustration

On s’intéresse à la fonction f(x)=\sqrt{x} définie sur [0;+\infty[. On a établi précédemment que sa dérivée seconde  est négative.

Cliquer sur le premier onglet à gauche et sélectionner Déplacer dans le menu déroulant. Puis dans le repère déplacer le point A et s’assurer que la courbe reste en-dessous de ses tangentes. 

Définition :  point d’inflexion

Soit une fonction f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit A un point de C_f et T_A la tangente à la courbe C_f en A.

On dit que A est un point d’inflexion pour C_f si au point A, la courbe C_f traverse la tangente T_A.

Illustration

On s’intéresse à la fonction f(x)=x^3, l’origine du repère est un point d’inflexion.

Cliquer sur le premier onglet à gauche et sélectionner Déplacer dans le menu déroulant. Puis dans le repère déplacer le point A et s’assurer que la courbe traverse la tangente au point d’abscisse 0.

Propriété :  point d’inflexion

Pour qu’il y ait point d’inflexion, il faut que f" change de signe, donc que f’ change de variations ou encore que f change de convexité.

Illustration

Reprenons la fonction f(x)=x^3.

f'(x)=3x^2 et f"(x)=6x\\f"(x) change de signe pour x=0

Donc l’origine du repère est bien un point d’inflexion.

Exercice n°6

On considère la fonction f définie et dérivable sur \mathbf{R} par f(x)=xe^{-x} 
Cette fonction admet sur R une dérivée f’ et une dérivée seconde f".

  1. Montrer que  f'(x)=(1-x)e^{-x}.
correction

2.a. Montrer que  f"(x)=(2+x)e^{-x}.

correction

2.b. Etudier le signe de f"(x) et en déduire les coordonnées d’éventuels points d’inflexion de la courbe C_f

correction

Exercice n°7

On considère la fonction f définie et dérivable sur \mathbf{R} par f(x)=2x^2e^{-x} 
Cette fonction admet sur R une dérivée f’ et une dérivée seconde f".

  1. Montrer que  f'(x)=(4x-2x^2)e^{-x}
correction

2.a. Montrer que f"(x)=(2x^2-8x+4)e^{-x}.

correction

2.b. Etudier le signe de f"(x) et en déduire les coordonnées d’éventuels points d’inflexion de la courbe C_f

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Graphiquement, il semble que la fonction exponentielle, f(x)=e^x soit convexe sur \mathbf{R} car sa courbe C_f est en-dessous de ses sécantes.

Graphiquement, il semble que la fonction  f(x)=\sqrt{x} soit concave sur ]0;+\infty[ car sa courbe C_f est au-dessus de ses sécantes.

Graphiquement, il semble que la fonction inverse, f(x)=\frac{1}{x} soit convexe sur [0;+\infty[ car sa courbe C_f est en-dessous de ses sécantes et concave sur ]-\infty;0] car sa courbe C_f est au-dessus de ses sécantes.

En utilisant le fait que la fonction carré est convexe sur \mathbf{R} , démontrer que si a et b sont strictements positifs alors 

(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2).

Comme  la fonction carré est convexe sur \mathbf{R}, elle l’est en particulier sur [0;+\infty[. On peut donc écrire l’inégalité suivante :

Il faut remplacer f par ()^2 , x par a et y par b dans f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)

(ta+(1-t)b)^2\leq t\times a^2+(1-t)\times b^2.

On remplace ensuite t par \frac{1}{2}

(\frac{1}{2}\times a+(1-\frac{1}{2})b)^2\leq \frac{1}{2}\times a^2+(1-\frac{1}{2})\times b^2

(\frac{1}{2}\times a+\frac{1}{2}\times b)^2\leq \frac{1}{2}\times a^2+\frac{1}{2}\times b^2

(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})^2\leq \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}

(\frac{a+b}{2})^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}

\frac{(a+b)^2}{2^2}\leq \frac{a^2+b^2}{2}

\frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{a^2+b^2}{2}

On multiplie par 4 de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas car 4 est positif.

(a+b)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}\times 4

(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)

En utilisant le fait que la fonction racine carrée est concave sur ]0;+\infty[ , démontrer que si a et b sont strictements positifs alors 

\sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})

Comme  la fonction racine carrée est concave sur ]0;+\infty[. On peut donc écrire l’inégalité suivante :

Il faut remplacer f par \sqrt{} , x par a et y par b dans f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)

\sqrt{ta+(1-t)b}\geq t\times \sqrt{a}+(1-t)\times \sqrt{b}.

On remplace ensuite t par \frac{1}{2}

\sqrt{\frac{1}{2}\times a+(1-\frac{1}{2})\times b}\geq \frac{1}{2}\times \sqrt{a}+(1-\frac{1}{2})\times \sqrt{b}

\sqrt{\frac{1}{2}\times a+\frac{1}{2}\times b}\geq \frac{1}{2}\times \sqrt{a}+\frac{1}{2}\times \sqrt{b}

\sqrt{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}}\geq \frac{\sqrt{a}}{2}+\frac{\sqrt{b}}{2}

\sqrt{\frac{a+b}{2}}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}

\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt 2}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}

On multiplie par \sqrt{2} de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas car \sqrt{2} est positif.

\sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\times \sqrt{2}

\sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})

On veut dériver f(x)=e^x 

C’est une fonction de référence, on utilise le tableau ci-dessous :

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

On utilise la dernière ligne du tableau :

f'(x)=e^x.

On veut dériver f'(x)=e^x 

C’est une fonction de référence, on utilise le tableau ci-dessus :

f"(x)=e^x

 

 

On veut dériver f(x)=\sqrt{x} 

1.calcul de f'(x) 

C’est une fonction de référence, on utilise le tableau ci-dessous :

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

On utilise la sixième ligne du tableau :

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

2.On veut dériver f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} pour obtenir f"(x) 

C’est l’inverse d’une fonction de la forme \frac{1}{u(x)} avec u(x)=2\sqrt{x}. On utilise la formule de la cinquième ligne. 

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

On calcule 

u'(x)=(2\sqrt{x})’\\u'(x)=2(\sqrt{x})’\\u'(x)=2\times \frac{1}{2\sqrt{x}}\\u'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}

Pour calculer f"(x) , on remplace u(x) par 2\sqrt{x} et u'(x) par \frac{1}{\sqrt{x}} dans -\frac{u’}{u^2}.

f"(x)=-\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{(2\sqrt{x})^2}\\f"(x)=-\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{4x}

Diviser par 4x revient à multiplier par son inverse \frac{1}{4x}

f"(x)=-\frac{1}{\sqrt{x}}\times \frac{1}{4x}\\f"(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}

 

 

On veut dériver f(x)=\frac{1}{x} 

1.calcul de f'(x) 

C’est une fonction de référence, on utilise le tableau ci-dessous :

Fonction

f(x)

Dérivable sur…

f'(x)

constante

f(x)=k\mathbf{R}f'(x)=0

identité

f(x)=x\mathbf{R}f'(x)=1

carré

f(x)=x^2\mathbf{R}f'(x)=2x

cube

f(x)=x^3\mathbf{R}f'(x)=3x^2

inverse 

f(x)=\frac{1}{x}\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[f'(x)=-\frac{1}{x^2}

racine carrée

f(x)=\sqrt{x}]0;+\infty[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
exponentiellef(x)=e^x\mathbf{R}f'(x)=e^x

On utilise la cinquième ligne du tableau :

f'(x)=-\frac{1}{x^2}

2.On veut dériver f'(x)=-\frac{1}{x^2} pour obtenir f"(x) 

C’est l’inverse d’une fonction de la forme \frac{1}{u(x)} avec u(x)=x^2.

Remarque on multipliera par -1 pour retrouver f'(x).

On utilise la formule de la cinquième ligne. 

Dérivées et fonctions composées

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

On calcule 

u'(x)=(x^2)’\\u'(x)=2x

Pour calculer f"(x) , on remplace u(x) par x^2 et u'(x) par 2x dans -\frac{u’}{u^2}.

(\frac{1}{x^2})’=-\frac{2x}{(x^2)^2}

On n’oublie pas de multiplier par -1.

f"(x)=-(-\frac{2x}{(x^2)^2})\\f"(x)=\frac{2x}{x^4}\\f"(x)=\frac{2}{x^3}

 

 

On a montré dans l’exo 4 que f"(x)=e^x.

Comme e^x est toujours positif, f"(x) est toujours positive et donc la fonction f est convexe sur \mathbf{R}.

 

On a montré dans l’exo 4 que f"(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}.

Comme x est positif, 4x est positif et \sqrt{x} l’est aussi.

Donc \frac{1}{4x\sqrt{x}} est positif et -\frac{1}{4x\sqrt{x}} est négatif.

f"(x) est toujours négative et donc la fonction f est concave sur ]0;+\infty[.

On a montré dans l’exo 4 que f"(x)=\frac{2}{x^3}.

Comme x^3 est du signe de x, il est négatif si  x \in]-\infty;0[ et il est positif si  x \in]0;+\infty[.

Donc f"(x) est  négative si  x \in]-\infty;0[ et est positive si  x \in]0;+\infty[. 

Donc la fonction f est concave sur ]-\infty;0[ et est convexe sur ]0;+\infty[.

f(x)=xe^{-x}

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x et v(x)=e^{-x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x est une fonction de référence

u'(x)=1

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{-x}

C’est de  la forme e^{U} avec U(x)=-x, voir ligne n°9 du tableau ci-dessous.

v'(x)=(e^{-x})’

v'(x)=(-x)’e^{-x}

v'(x)=-1\times e^{-x}

v'(x)=- e^{-x}

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x,  v par e^{-x}, u’ par  1 et v’ par -e^{-x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f'(x)=(x)’e^{-x}+x(e^{-x})’\\f'(x)=1\times e^{-x}+x\times (-e^{-x})\\f'(x)= e^{-x}-xe^{-x}

On met e^{-x} en facteur.

f'(x)= e^{-x}(1-x)

 

 

f'(x)= (1-x)e^{-x}

1.On veut calculer f"(x).

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=1-x et v(x)=e^{-x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=1-x est une somme

u'(x)=(1-x)’

u'(x)=(1)’-(x)’

u'(x)=0-1

u'(x)=-1

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{-x}

C’est de la forme e^{U} avec U(x)=-x. Voir la ligne n°9 du tableau ci-dessous.

v'(x)=(-x)’e^{-x}

v'(x)=-1\times e^{-x}

v'(x)=-e^{-x}

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

3. On calcule la dérivée f"(x) 

On remplace u par  1-x,  v par e^{-x}, u’ par  -1 et v’ par -e^{-x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f"(x)=(1-x)’e^{-x}+(1-x)(e^{-x})’\\f"(x)=(-1)\times e^{-x}+(1-x)\times (-e^{-x})\\f"(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}

On met e^{-x} en facteur.

f"(x)= e^{-x}(-1-1+x)\\f"(x)= e^{-x}(-2+x)

On veut étudier le signe de f"(x)=(-2+x)e^{-x}.

Comme e^{-x} est toujours positif, f"(x) est du signe de -2+x.

On étudie donc le signe de -2+x.

On utilise la deuxième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax+b.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

J’identifie les coefficients  a=1, b=-2 et donc  -\frac{b}{a}=-\frac{-2}{1}=2.

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme a=1 le signe de a est positif.

Pour x=2, f"(x) change de signe  donc  C_f admet un point d’inflexion.

Son abscisse est x=2, son ordonnée est

y=f(2)\\y=2e^{-2}\\y=\frac{2}{e^2}

Donc le point d’inflexion a pour coordonnées (2;\frac{2}{e^2})

 

 

f(x)=2x^2e^{-x}

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=2x^2 et v(x)=e^{-x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=2x^2 est le produit d’une constante par une fonction

u'(x)=2(x^2)’

u'(x)=2\times 2x

u'(x)=4x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{-x}

C’est de  la forme e^{U} avec U(x)=-x, voir ligne n°9 du tableau ci-dessous.

v'(x)=(e^{-x})’

v'(x)=(-x)’e^{-x}

v'(x)=-1\times e^{-x}

v'(x)=- e^{-x}

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  2x^2,  v par e^{-x}, u’ par  4x et v’ par -e^{-x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f'(x)=(2x^2)’e^{-x}+2x^2(e^{-x})’\\f'(x)=4x\times e^{-x}+2x^2\times (-e^{-x})\\f'(x)= 4xe^{-x}-2x^2e^{-x}

On met e^{-x} en facteur.

f'(x)= e^{-x}(4x-2x^2)\\f'(x)=(4x-2x^2)e^{-x}

 

 

f'(x)=(-2x^2+4x)e^{-x}

1.On veut calculer f"(x).

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=-2x^2+4x et v(x)=e^{-x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=-2x^2+4x est une somme

u'(x)=(-2x^2+4x)’

u'(x)=(-2x^2)’+(4x)’

u'(x)=-2\times(x^2)’+4(x)’

u'(x)=-2\times 2x+4\times 1

u'(x)=-4x+4

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{-x}

C’est de la forme e^{U} avec U(x)=-x. Voir la ligne n°9 du tableau ci-dessous.

v'(x)=(-x)’e^{-x}

v'(x)=-1\times e^{-x}

v'(x)=-e^{-x}

FonctionDérivée
v\circ u (v’\circ u)\times u’
u^2 2u’u
u^3 3u’u^2
u^n nu’u^{n-1}
\frac{1}{u} -\frac{u’}{u^2}
\sqrt{u} \frac{u’}{2\sqrt{u}}
cos(u) -u’sin(u)
sin(u) u’cos(u)
e^{u} u’e^{u}
ln(u) \frac{u’}{u}
\frac{1}{u^{n}} -\frac{nu’}{u^{n+1}}

3. On calcule la dérivée f"(x) 

On remplace u par  -2x^2+4x,  v par e^{-x}, u’ par  -4x+4 et v’ par -e^{-x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f"(x)=(-2x^2+4x)’e^{-x}+(-2x^2+4x)(e^{-x})’\\f"(x)=(-4x+4)\times e^{-x}+(-2x^2+4x)\times (-e^{-x})\\f"(x)=(-4x+4)e^{-x}-(-2x^2+4x)e^{-x}

On met e^{-x} en facteur.

f"(x)= e^{-x}(-4x+4+2x^2-4x)\\f"(x)= e^{-x}(2x^2-8x+4)\\f"(x)=(2x^2-8x+4)e^{-x}

On veut étudier le signe de f"(x)=(2x^2-8x+4)e^{-x}.

Comme e^{-x} est toujours positif, f"(x) est du signe de 2x^2-8x+4.

On étudie donc le signe de 2x^2-8x+4.

On utilise la troisième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax^2+bx+c.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

J’identifie les coefficients du polynôme. a=2, b=-8 et c=4.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 2,(-8) ,4  .

\Delta=(-8)²-4\times{2}\times{4}\\\Delta=64-32\\\Delta=32

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2, (-8), 32.

x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{32}}{2\times{2}}\\x_1=\frac{8-4\sqrt{2}}{4}\\x_1=2-\sqrt{2}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2, (-8), 32.

x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{32}}{2\times{2}}\\x_2=\frac{8+4\sqrt{2}}{4}\\x_2=2+\sqrt{2}

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme a=2 le signe de a est positif.

Pour x=2-\sqrt{2}, f"(x) change de signe  donc  C_f admet un point d’inflexion.

Son abscisse est x=2-\sqrt{2}, son ordonnée est

y=f(2-\sqrt{2})\\y=2\times(2-\sqrt{2})^2\times e^{2-\sqrt{2}}\\y=(12-8\sqrt{2}) e^{2-\sqrt{2}}

Le premier point d’inflexion a pour coordonnées ( 2-\sqrt{2};(12-8\sqrt{2}) e^{2-\sqrt{2}})

Pour x=2+\sqrt{2}, f"(x) change de signe  donc  C_f admet un point d’inflexion.

Son abscisse est x=2+\sqrt{2}, son ordonnée est

y=f(2+\sqrt{2})\\y=2\times(2+\sqrt{2})^2\times e^{2+\sqrt{2}}\\y=(12+8\sqrt{2}) e^{2+\sqrt{2}}

Le second point d’inflexion a pour coordonnées ( 2+\sqrt{2};(12+8\sqrt{2}) e^{2+\sqrt{2}})

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.