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TC. convexité. Exercices

Exercice n°1

On considère la fonction f définie sur \mathbf{R} par

f(x)=-7xe^x

Cette fonction admet sur R une dérivée f’ et une dérivée seconde f".
On donne ci-contre la courbe C_f représentative de la fonction f .

Une seule des quatre réponses proposées est exacte, trouvez-la.

a. f’ est positive sur l’intervalle [-6;0].

b. f est convexe sur l’intervalle [-1;0].

c. C_f admet un point d’inflexion pour x=-1.

d. f" change de signe en x=-2.

correction

Exercice n°2

On donne ci-dessous la courbe C_g représentant une fonction g définie sur [0;2].

Une seule des quatre réponses proposées est exacte, trouvez-la.

a. g est concave sur l’intervalle [0;2].

b. g"(x)\geq 0  pour  x\in [0;2].

c. C_g admet un point d’inflexion sur l’intervalle  [0;2].

d. g'(1)>0.

correction

Exercice n°3

On considère la fonction f définie et dérivable sur \mathbf{R}. Sa dérivée f’ est aussi dérivable sur \mathbf{R}

La courbe ci-contre
représente la dérivée seconde f".

Une seule des quatre réponses proposées est exacte, trouvez-la.

a. f est convexe sur l’intervalle [-2;2].

b. f est concave sur l’intervalle [-2;2].

c. C_f admet un point d’inflexion sur l’intervalle  [-2;2].

d. f’ est croissante sur l’intervalle [-2;2].

correction

Exercice n°4

On donne ci-dessous la courbe C_f représentative dans un repère donné d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0;5] ainsi que les courbes représentatives C_f’ et C_f" respectivement de la dérivée f’ et de la dérivée seconde f" de la fonction f .

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l’aide de lectures graphiques.
1. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la fonction f
semble atteindre son maximum.

correction

2. a. Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction fsemble convexe.

correction

b. Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe C_f admet un point d’inflexion.
Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l’abscisse de ce point d’inflexion.

correction

Exercice n°5

On considère la fonction f définie et dérivable sur [-10;5] par f(x)=(x-5)e^{0.2x}+5 

  1. On note  f’ sa dérivée sur [-10;5]
    a. Montrer que f'(x)=0.2xe^{0.2x}
correction

b. Dresser le tableau de variation de la fonction f définie [-10;5].

correction

c. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente T_{-5} à C_f au point A d’abscisse -5 .

correction

2. a. Montrer que f"(x)=(0.2+0.04x)e^{0.2x}

correction

2. b. Etudier la convexité de  f sur [-10;5]

correction

Exercice n°6

On considère la fonction f définie et dérivable sur [0;30] par f(x)=x^3-39x^2+315x+45 

On note C_f sa courbe représentative. 

Une seule des quatre réponses proposées est exacte, trouvez-la.

a. f est convexe sur l’intervalle [0;30].

b. f est concave sur l’intervalle [5;21].

c. C_f admet un point d’inflexion au point d’abscisse  13.

d. f’ est croissante sur l’intervalle [0;5] et sur [21;30].

correction

©2020 – Math’O karé SAS

a. f’ est positive sur l’intervalle [-6;0].

b. f est convexe sur l’intervalle [-1;0].

c. C_f admet un point d’inflexion pour x=-1.

d. f" change de signe en x=-2.

On peut déjà éliminer les réponses qui sont fausses de façon évidente.

la réponse a est fausse car f’ n’est pas toujours positive sur l’intervalle [-6;0]. En effet, la courbe de f descend sur [-1;0] et donc f’ y est négative.

la réponse b est fausse car f est  concave sur l’intervalle [-1;0]. Sur cet intervalle, la courbe est située au-dessus de ses sécantes.

la réponse c est fausse car C_f ne traverse pas sa tangente en  x=-1.

La bonne réponse est donc la réponse d.

 

a. g est concave sur l’intervalle [0;2].

b. g"(x)\geq 0  pour  x\in [0;2].

c. C_g admet un point d’inflexion sur l’intervalle  [0;2].

d. g'(1)>0.

On peut déjà éliminer les réponses qui sont fausses de façon évidente.

la réponse a est fausse car sur l’intervalle [0;2], la courbe est d’abord située au-dessus de ses sécantes puis en-dessous. Donc la concavité change.

la réponse b est fausse car la concavité de g change donc le signe de g"(x) aussi.

la réponse d est fausse car la tangente à C_g en  x=1 descend donc son coefficient directeur est négatif donc g'(1)<0.

La bonne réponse est donc la réponse c.

 

 

a. f est convexe sur l’intervalle [-2;2].

b. f est concave sur l’intervalle [-2;2].

c. C_f admet un point d’inflexion sur l’intervalle  [-2;2].

d. f’ est croissante sur l’intervalle [-2;2].

On peut déjà éliminer les réponses qui sont fausses de façon évidente.

Les réponses a et b sont fausses car sur l’intervalle [-2;2], la courbe de f" est d’abord située en dessous de l’axe des abscisses puis au-dessus. Donc le signe de f"(x) est d’abord négatif puis positif, donc la fonction f est d’abord concave sur [-2;1] et convexe sur [1;2].

la réponse c est vraie. On a vu au-dessus que  f" change de signe pour x=1 , donc C_f admet un point d’inflexion pour x=1.

Sur la courbe de la fonction f ci-dessous, le point le plus haut de la courbe a une abscisse comprise entre 1 et 2.

Donc la fonction f admet un maximum pour une valeur de x comprise entre 1 et 2.

Sur la courbe de la fonction f" ci-dessous, la courbe est située au-dessus de l’axe des abscisses pour x situé dans l’intervalle  [3;5]. Donc f"(x)\geq 0 pour x\in[3;5]

Donc la fonction f est convexe sur [3;5].

Par commodité on note \alpha l’abscisse du point d’intersection de la courbe de la fonction f" et de l’axe des abscisses.

Sur la courbe de la fonction f" ci-dessous, la courbe est située en-dessous de l’axe des abscisses pour x situé dans l’intervalle  [0;\alpha]. Donc f"(x)\leq 0 pour x\in[0;\alpha].

On a vu précédemment que  f"(x)\geq 0 pour x\in[\alpha;5]

Comme f" change de signe, C_f admet un point d’inflexion dont l’abscisse est comprise entre 2 et 3.

On considère la fonction f définie et dérivable sur [-10;5] par f(x)=(x-5)e^{0.2x}+5 

f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’+(5)’ 

f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’+0 

f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’ 

1.On veut calculer ((x-5)e^{0.2x})’.

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x-5 et v(x)=e^{0.2x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x-5 est une somme

u'(x)=(x-5)’

u(x)=(x)’-(5)’

u(x)=1-0

u(x)=1

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{0.2x}

C’est de la forme  e^{u} avec   u(x)=0.2x.

On utilise la propriété n°2 :

La fonction e^u:x\rightarrow e^{u(x)} est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}} 

v'(x)=(0.2x)’e^{0.2x}

v'(x)=0.2(x)’e^{0.2x}

v'(x)=0.2\times{1} e^{0.2x}

v'(x)=0.2e^{0.2x}

3. On calcule la dérivée f'(x) 

f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’+(5)’\\f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’+0\\f'(x)=((x-5)e^{0.2x})’

Pour continuer, on remplace u par  x-5,  v par e^{0.2x}, u’ par  1 et v’ par 0.2e^{0.2x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f'(x)=(x-5)’e^{0.2x}+(x-5)(e^{0.2x})’\\f'(x)=1\times e^{0.2x}+(x-5)\times0.2e^{0.2x}\\f'(x)= e^{0.2x}+0.2(x-5)e^{0.2x}

On met e^{0.2x} en facteur.

f'(x)= e^{0.2x}(1+0.2(x-5))\\f'(x)= e^{0.2x}(1+0.2x-1)\\f'(x)= 0.2xe^{0.2x}

On a vu que f'(x)=0.2xe^{0.2x}.

C’est un produit et e^{0.2x} est positif, donc f'(x) est du signe 0.2x. Donc f'(x) est négatif sur [-10;0] et positif sur [0;5]].

De plus f(-10)=5-15e^{-2}\\f(0)=0\\f(5)=5

On en déduit le tableau de variations suivant :

Pour déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente T_{-5} à C_f au point A d’abscisse -5, il faut calculer f'(-5) en remplaçant x par (-5) entre parenthèses dans f'(x)=0.2xe^{0.2x}.

f'(-5)=0.2\times(-5)e^{0.2\times(-5)}\\f'(-5)=(-1)\times e^{-1}\\f'(-5)=-\frac{1}{e}

On considère la fonction f’ définie  par f'(x)= 0.2xe^{0.2x}

1.On veut calculer f"(x).

On répond à la question suivante : est-ce une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=0.2x et v(x)=e^{0.2x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=0.2x est le produit d’une constante par une fonction

u'(x)=(0.2x)’

u'(x)=0.2(x)’

u'(x)=0.2\times 1

u'(x)=0.2

 

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^{0.2x}

C’est de la forme  e^{u} avec   u(x)=0.2x.

On utilise la propriété n°2 :

La fonction e^u:x\rightarrow e^{u(x)} est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}} 

v'(x)=(0.2x)’e^{0.2x}

v'(x)=0.2(x)’e^{0.2x}

v'(x)=0.2\times{1} e^{0.2x}

v'(x)=0.2e^{0.2x}

3. On calcule la dérivée f"(x) 

On remplace u par  0.2x,  v par e^{0.2x}, u’ par  0.2 et v’ par 0.2e^{0.2x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

f"(x)=(0.2x)’e^{0.2x}+0.2x(e^{0.2x})’\\f"(x)=0.2\times e^{0.2x}+0.2x\times0.2e^{0.2x}\\f"(x)= 0.2e^{0.2x}+0.04xe^{0.2x}

On met e^{0.2x} en facteur.

f"(x)= e^{0.2x}(0.2+0.04x)

 

 

On a montré précédemment que f"(x)= e^{0.2x}(0.2+0.04x).

Etudions son signe pour en déduire la convexité de f.

Comme e^{0.2x} est positif, f"(x) est du signe de 0.2+0.04x.

0.2+0.04x s’annule pour x=-\frac{0.2}{0.04}=-5.

0.2+0.04x est négatif avant -5 et positif après -5.

Donc f"(x)\leq 0  sur [-10;-5] et f"(x)\geq 0 sur [-5;5]

Donc f est concave sur [-10;-5] et convexe sur [-5;5]

a. f est convexe sur l’intervalle [0;30].

b. f est concave sur l’intervalle [5;21].

c. C_f admet un point d’inflexion au point d’abscisse  13.

d. f’ est croissante sur l’intervalle [0;5] et sur [21;30].

Si on trace la courbe, on ne peut pas déterminer la convexité de f.

Le mieux est de calculer f"(x) et d’étudier son signe.

f(x)=x^3-39x^2+315x+45 est une somme.

f'(x)=(x^3-39x^2+315x+45)’\\f'(x)=(x^3)’-(39x^2)’+(315x)’+(45)’\\f'(x)=(x^3)’-39(x^2)’+315(x)’+(45)’\\f'(x)=3x^2-39\times 2x+315\times 1+0\\f'(x)=3x^2-78x+315

Calculons maintenant f"(x).

f"(x)=(3x^2-78x+315)’\\f"(x)=(3x^2)’-(78x)’+(315)’\\f"(x)=3(x^2)’-78(x)’+(315)’\\f"(x)=3\times 2x-78\times 1+0\\f"(x)=6x-78

Etudions le signe de  f"(x).

f"(x) est de la forme ax+b avec a=6, b=-78 et -\frac{b}{a}=-\frac{(-78)}{6}=13. De plus le signe de a est positif. On présent le tout dans un tableau comme en seconde.

Le signe de f"(x) change pour x=13. Donc C_f admet un point d’inflexion au point d’abscisse  13 et la bonne réponse est la réponse c.

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.