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T. Produit scalaire dans l’espace.

Sommaire

Produit scalaire à l’espace

On étend aux vecteurs de l’espace la définition du produit scalaire dans le plan vue en classe de première.

Définition

\overrightarrow{u} et  \overrightarrow{v} sont deux vecteurs de l’espace.

A;B;C sont trois points de l’espace tels que   \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}.

Il existe au moins un plan P contenant les points A;B;C.

Le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} noté \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} est le produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} calculé dans le plan P.

Définition

Le produit scalaire d’un vecteur \overrightarrow{u} par un vecteur \overrightarrow{v} est le nombre réel  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} qui se lit \overrightarrow{u} scalaire \overrightarrow{v}.

Si \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC} alors \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})

Si \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0} ou \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}  alors \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 .

Exercice n°1

En utilisant la définition ci-dessus, calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}.

correction

Propriété

\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC} sont deux vecteurs non nuls de l’espace.

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

On projette les points A et C sur la droite (AB).  A projette en A et C se projette en H.

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB \times AH

car les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont même sens.

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

On projette les points A et C sur la droite (AB).  A projette en A et C se projette en H.

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB \times AH

car les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont de  sens contraire.

Exercice n°2

En utilisant la propriété ci-dessus, calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}.

correction

Exercice n°3

ABCDEFGH est un cube  de côté 4. 

En utilisant la propriété avec la projection  orthogonale, calculer  les produits scalaires suivants :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
correction
\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{AB}
correction
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
correction
\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{GH}
correction
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}
correction
\overrightarrow{FC}.\overrightarrow{DH}
correction

Propriétés algébriques du produit scalaire dans l’espace

Propriété

Pour tous vecteurs   \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ,  \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux équivaut à \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.

Exercice n°4

ABCDEFGH est un cube  et  O est le centre de la face ABFE. 

En utilisant la propriété précédente justifier les égalités suivantes :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}=0
correction
\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0
correction
\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{DC}=0
correction
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DH}=0
correction

Propriétés

Pour tous vecteurs   \overrightarrow{u},  \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w}. Pour tout réel  k 

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u} 

 \overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} 

(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}

 \overrightarrow{u}.(\overrightarrow{kv})=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})  

 (\overrightarrow{ku}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})  

Exercice n°5

ABCDEFGH est un cube de côté 4 , O est le centre de la face EFGH, I est le milieu de  [AE] et  J est le milieu de  [EF].

  1. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{DH}.\overrightarrow{AI}
correction

2. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{HO}.\overrightarrow{BA}

correction

3. Terminer le calcul du produit scalaire  \overrightarrow{DO}.\overrightarrow{BI}\\ \overrightarrow{DO}.\overrightarrow{BI}=(\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HO}).(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}).

correction

Exercice n°6

ABCDEFGH est un cube de côté 6, I est défini par  \overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE} et  J est le milieu de  [FG].

  1. Calculer les produits scalaires \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BF}, \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{FJ} et \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{FJ}.
correction \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BF}
correction \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{FJ}
correction \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{FJ}

2. Calculer le produit scalaire \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BF}.

correction

3. Terminer le calcul du produit scalaire  \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}\\ \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}).(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FJ}).

correction

Expression analytique du produit scalaire 

Propriété 

Soient \overrightarrow{u}(x;y;z) et \overrightarrow{v}(x’;y’;z’) dans une base orthonormée (\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

Démonstration

Calculer  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} en remplaçant  \overrightarrow{u} par  x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} et  \overrightarrow{v} par  x’\overrightarrow{i}+y’\overrightarrow{j}+z’\overrightarrow{k}.

correction

Exercice n°7 

Calculer le produit scalaire  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} dans chaque cas

 \overrightarrow{u}(2;1;1) et  \overrightarrow{v}(3;2;2)

correction

 \overrightarrow{u}(1;4;6) et  \overrightarrow{v}(5;3;-2)

correction

 \overrightarrow{u}(\sqrt{2};1;-1) et  \overrightarrow{v}(\sqrt{2};3;0)

correction

 \overrightarrow{u}(1;0;1) et  \overrightarrow{v}(0;1;0)

correction

Propriété 

Soient \overrightarrow{u}(x;y;z) et \overrightarrow{v}(x’;y’;z’) dans une base orthonormée (\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})

  1. \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux équivaut à xx’+yy’+zz’=0
  2. ||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

Exercice n°8 

Calculer le produit scalaire  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} dans chaque cas et dire si les vecteurs sont orthogonaux ou pas.

 \overrightarrow{u}(5;-6;1) et  \overrightarrow{v}(3;2;-3)

correction

 \overrightarrow{u}(1;0;0) et  \overrightarrow{v}(0;3;0)

correction

 \overrightarrow{u}(\sqrt{2};-1;-1) et  \overrightarrow{v}(\sqrt{2};3;-1)

correction

 \overrightarrow{u}(1;6;1) et  \overrightarrow{v}(-5;1;0)

correction

Exercice n°9

Soient  A(1;1;3) , B(4;5;0) , C(6;1;1) et D(1;4;0).

Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

correction

Exercice n°10

Soient  A(1;-1;6) , B(9;-1-1) , C(4;3;-3) et D(6;1;-1).

Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

correction

Exercice n°11

Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{u} dans chaque cas. 

\overrightarrow{u}(2;-3;5)
correction
\overrightarrow{u}(8;6;0)
correction
\overrightarrow{u}(\sqrt{2};-1;-5)
correction
\overrightarrow{u}(3;4;0)
correction

Propriété  

Soient A(x_A;y_A;z_A) et B(x_B;y_B;z_B) dans un repère orthonormé (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.

Exercice n°12 : 

ABCDEFGH est un cube de côté 1.

1.Déterminer graphiquement les coordonnées des points A et G dans le repère orthonormé (D;\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DH})

correction point A
correction point G

2. En utilisant la propriété précédente, calculer la distance  AG.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Dans un tétraèdre régulier, les arêtes ont même mesure ainsi que les angles.

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}  on remplace AB par 4 ,  AD par 4 et  \widehat{BAD} par 60  dans :

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=AB.AD.cos(\widehat{BAD})

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=4\times 4\times cos(60)\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=16\times {\frac{1}{2}}\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=8

Dans un tétraèdre régulier, les faces sont des triangles équilatéraux.

 

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}  on peut :

1) projeter le points A et D sur le segment[AB].

Dans ce cas : A se projette en A et  D se projette en E milieu de [AB].

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=AB.AE\\\hspace{1.3cm}=4\times 2\\\hspace{1.3cm}=8

2) projeter les points A et B sur le segment[AD].

Dans ce cas : A se projette en A et B se projette en F milieu de [AD].

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=AF.AD\\\hspace{1.3cm}=2\times 4\\\hspace{1.3cm}=8

Remarque : pour cet exercice les deux cas permettent de conclure, ce n’est pas toujours le cas. En ce qui concerne votre réponse sur la copie, une seule réponse suffit. 

 

On va calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} dans le plan  (ABC)

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}  on peut :

1) projeter le points A et C sur le segment[AB].

Dans ce cas : A se projette en A et  C se projette en B.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AB\\\hspace{1.3cm}=4\times 4\\\hspace{1.3cm}=16

 

2) projeter les points A et B sur le segment[AC].

Dans ce cas : A se projette en A et B se projette en un point qu’il faut créer, mieux vaut s’arrêter.

 

On va calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF} dans le plan  (ABF)

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}  on peut :

1) projeter le points A et F sur le segment[AB].

Dans ce cas : A se projette en A et  F se projette en B.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AB.AB\\\hspace{1.3cm}=4\times 4\\\hspace{1.3cm}=16

 

2) projeter les points A et B sur le segment[AF].

Dans ce cas : A se projette en A et B se projette en un point qu’il faut créer, mieux vaut s’arrêter.

On va calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} dans le plan  (ABH).

Remarque : comme la droite (AB) est orthogonale au plan (AEH) elle est orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier la droite (AH). 

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}  on peut :

1) projeter le points A et H sur le segment[AB].

Dans ce cas : A se projette en A et  H se projette en A.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=AB.AA\\\hspace{1.3cm}=4\times 0\\\hspace{1.3cm}=0

2) projeter les points A et B sur le segment[AH].

Dans ce cas : A se projette en A et  B se projette en A.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=AA.AH\\\hspace{1.3cm}=0\times 4\\\hspace{1.3cm}=0

Remarque n°1 : une seule réponse suffit sur la copie.

Remarque n°2 : on verra une propriété plus tard qui affirme que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est toujours nul.

 

 

On va calculer le produit scalaire  \overrightarrow{EF}.\overrightarrow{GH} dans le plan  (EFG).

 

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{EF}.\overrightarrow{GH}  on peut :

1) projeter le points G et H sur le segment[EF].

Dans ce cas : G se projette en F et  H se projette en E.

 

\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{GH}=-EF.FE(attention : le sens de E vers F et le sens de F vers E sont opposés, il ne faut pas oublier le signe moins)

\hspace{1.3cm}=-4\times 4\\\hspace{1.3cm}=-16

2) projeter les points E et F sur le segment[GH].

Dans ce cas : E se projette en H et  F se projette en G.

\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{GH}=-HG.GH(attention : le sens de H vers G et le sens de G vers H sont opposés, il ne faut pas oublier le signe moins)

\hspace{1.3cm}=-4\times 4\\\hspace{1.3cm}=-16

Remarque  : une seule réponse suffit sur la copie.

 

 

 

On va calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}.

On choisit de le calculer dans le plan  (ABC). Pour cela on remplace le vecteur \overrightarrow{EG} par un vecteur égal \overrightarrow{AC}.

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

On a calculé \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} à la question 1 et on a trouvé 16

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}=16

 

On va calculer le produit scalaire  \overrightarrow{FC}.\overrightarrow{DH}.

On choisit de le calculer dans le plan  (BCG). Pour cela on remplace le vecteur \overrightarrow{DH} par un vecteur égal \overrightarrow{CG}.

\overrightarrow{FC}.\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{FC}.\overrightarrow{CG}

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{FC}.\overrightarrow{CG}  on peut :

1) projeter le points C et G sur le segment[FC].

Dans ce cas : C se projette en C et  G se projette en en un point que l’on doit créer, mieux vaut s’arrêter.

 

2) projeter les points F et C sur le segment[CG].

Dans ce cas : F se projette en G et C se projette en C.

\overrightarrow{FC}.\overrightarrow{CG}=-GC.CG(attention : le sens de C vers G et le sens de G vers C sont opposés, il ne faut pas oublier le signe moins)

\hspace{1.3cm}=-4\times 4\\\hspace{1.3cm}=-16

 

ABFE est un carré donc  [AB] et [AE] sont orthogonales donc  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AE}=0.

ABFE est un carré de centre O, comme [OA] et [OB] sont des diagonales, elles sont  orthogonales donc  \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0.

 

La droite (DC) est orthogonale au plan  (AEH), elle est donc orthogonale à toute droite du plan, en particulier la droite (AH).

Donc  \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{DC}=0.

La droite (AB) est orthogonale au plan  (ADH), elle est donc orthogonale à toute droite du plan, en particulier la droite (DH).

Donc  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DH}=0.

On va  calculer le produit scalaire  \overrightarrow{DH}.\overrightarrow{AI} dans le plan (ADH)

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{DH}.\overrightarrow{AI}  on peut :

1) projeter le points A et I sur le segment[DH].

Dans ce cas : A se projette en D et  I se projette en un point qu’il faut créer. Mieux vaut s’arrêter.

 

2) projeter les points D et H sur le segment [AI].

Dans ce cas : D se projette en A et H se projette en E.

\overrightarrow{DH}.\overrightarrow{AI}=AE.AI ( on va de A vers E comme on va de A vers I)

\hspace{1.3cm}=4\times 2\\\hspace{1.3cm}=8

 

On va  calculer le produit scalaire  \overrightarrow{HO}.\overrightarrow{BA} dans le plan (EFG)

Pour cela on va remplacer le vecteur \overrightarrow{BA} par un vecteur égal : \overrightarrow{FE}.

On va donc calculer le produit scalaire  \overrightarrow{HO}.\overrightarrow{FE}.

Rappel : la diagonale d’un carré de côté a mesure  a\sqrt{2} 

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{HO}.\overrightarrow{FE}  on peut :

1) projeter le points F et E sur le segment[HO].

Dans ce cas : F se projette en F et  E se projette en O.

\overrightarrow{HO}.\overrightarrow{FE}=-HO.FO ( on va de H vers O dans le sens contraire du sens de F vers O)

\hspace{1.3cm}=-2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}\\\hspace{1.3cm}=-4\sqrt{2}^2\\\hspace{1.3cm}=-4\times 2\\\hspace{1.3cm}=-8

 

2) projeter les points H et O sur le segment [EF].

Dans ce cas : H se projette en E et O se projette en J.

\overrightarrow{HO}.\overrightarrow{FE}=-EJ.FE ( on va de E vers J dans le sens contraire du sens de F vers E)

\hspace{1.3cm}=-2\times 4\\\hspace{1.3cm}=-8

Remarque : une seule réponse suffit pour votre copie et celle de droite est la plus rapide.

 

 

\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}).(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FJ}).

On développe le produit à l’aide des propriétés algébriques du cours.

\hspace{1.3cm}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{FJ}.

On remplace les produits scalaires par les résultats obtenus dans les questions précédentes.

\hspace{1.3cm}=0+0+12+0.

\hspace{1.3cm}=12.

ABFE est un carré donc  [BA] et [BF] sont orthogonaux donc  \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BF}=0.

La droite (FJ) est orthogonale à la face ABFE, elle est donc orthogonale à toute droite de ce plan, par exemple : (BA) donc  \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{FJ}=0.

La droite (FJ) est orthogonale à la face ABFE, elle est donc orthogonale à toute droite de ce plan, par exemple : (AI) donc  \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{FJ}=0.

On va  calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BF} dans le plan (ABF)

Pour calculer le produit scalaire  \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BF}  on peut :

1) projeter le points B et F sur la droite (AI).

Dans ce cas : B se projette en A et  F se projette en E.

\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BF}=AI.AE ( on va de A vers I comme on va de A vers E)

\hspace{1.3cm}=2\times 6\\\hspace{1.3cm}=12

 

 

2) projeter les points A et I sur le segment [BF].

Dans ce cas : A se projette en B et I se projette en un point qu’il faut construire. Mieux vaut s’arrêter là.

 

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}).(x’\overrightarrow{i}+y’\overrightarrow{j}+z’\overrightarrow{k})

On développe à l’aide des propriétés du cours.

\hspace{0.85cm}=xx’\overrightarrow{i}^2+xy’\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+xz’\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}+yx’\overrightarrow{j}.\overrightarrow{i}+yy’\overrightarrow{j}^2+yz’\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}+zx’\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}+zy’\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}+zz’\overrightarrow{k}^2

Le repère est orthonormé donc on peut remplacer \overrightarrow{i}^2 par 1,  \overrightarrow{j}^2 par 1 et \overrightarrow{k}^2 par 1. Puis  \overrightarrow{i}.\overrightarrow{j} par 0 , \overrightarrow{j}.\overrightarrow{i} par 0 ,  \overrightarrow{i}.\overrightarrow{k} par 0 , \overrightarrow{k}.\overrightarrow{i} par 0 ,  \overrightarrow{j}.\overrightarrow{k} par 0 et \overrightarrow{k}.\overrightarrow{j} par 0.

\hspace{0.85cm}=xx’\times 1+xy’\times 0+xz’\times 0+yx’\times 0+yy’\times 1+yz’\times 0+zx’\times 0+zy’\times 0+zz’\times 1\\\hspace{0.85cm}=xx’+yy’+zz’

\overrightarrow{u}(2;1;1) et \overrightarrow{v}(3;2;2).

Pour calculer  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}, on remplace : 

 x par 2 ,  y par 1 ,  z par 1.

Et

 x’ par 3 ,  y’ par 2 ,  z’ par 2.

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2\times 3+1\times 2+1\times 2\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=6+2+2\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=10

\overrightarrow{u}(1;4;6) et \overrightarrow{v}(5;3;-2).

Pour calculer  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}, on remplace : 

 x par 1 ,  y par 4 ,  z par 6.

Et

 x’ par 5 ,  y’ par 3 ,  z’ par (-2).

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1\times 5+4\times 3+6\times (-2)\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=5+12-12\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=5

 

\overrightarrow{u}(\sqrt{2};1;-1) et \overrightarrow{v}(\sqrt{2};3;0).

Pour calculer  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}, on remplace : 

 x par \sqrt{2} ,  y par 1 ,  z par (-1).

Et

 x’ par \sqrt{2} ,  y’ par 3 ,  z’ par 0.

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\sqrt{2}\times \sqrt{2}+1\times 3+(-1)\times 0\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\sqrt{2}^2+3+0\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2+3\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=5

 

\overrightarrow{u}(1;0;1) et \overrightarrow{v}(0;1;0).

Pour calculer  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}, on remplace : 

 x par 1 ,  y par 0 ,  z par 1.

Et

 x’ par 0 ,  y’ par 1 ,  z’ par 0.

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1\times 0+0\times 1+1\times 0\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0+0+0\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0

 

\overrightarrow{u}(5;-6;1) et \overrightarrow{v}(3;2;-3).

Pour calculer  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}, on remplace : 

 x par 5 ,  y par (-6) ,  z par 1.

Et

 x’ par 3 ,  y’ par 2 ,  z’ par (-3).

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=5\times 3+(-6)\times 2+1\times (-3)\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=15-12-3\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0

Donc les vecteurs  \overrightarrow{u} et  \overrightarrow{v} sont orthogonaux.

\overrightarrow{u}(1;0;0) et \overrightarrow{v}(0;3;0).

Pour calculer  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}, on remplace : 

 x par 1 ,  y par 0 ,  z par 0.

Et

 x’ par 0 ,  y’ par 3 ,  z’ par 0.

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1\times 0+0\times 3+0\times 0\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0+0+0\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0

Donc les vecteurs  \overrightarrow{u} et  \overrightarrow{v} sont orthogonaux.

\overrightarrow{u}(\sqrt{2};-1;-1) et \overrightarrow{v}(\sqrt{2};3;-1).

Pour calculer  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}, on remplace : 

 x par \sqrt{2} ,  y par (-1) ,  z par (-1).

Et

 x’ par \sqrt{2} ,  y’ par 3 ,  z’ par (-1).

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\sqrt{2}\times \sqrt{2}+(-1)\times 3+(-1)\times (-1)\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\sqrt{2}^2-3+1\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2-3+1\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0

Donc les vecteurs  \overrightarrow{u} et  \overrightarrow{v} sont orthogonaux.

 

\overrightarrow{u}(1;6;1) et \overrightarrow{v}(-5;1;0).

Pour calculer  \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}, on remplace : 

 x par 1 ,  y par 6 ,  z par 1.

Et

 x’ par (-5) ,  y’ par 1 ,  z’ par 0.

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1\times (-5)+6\times 1+1\times 0\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-5+6+0\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1

Donc les vecteurs  \overrightarrow{u} et  \overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}.

Je repère les coordonnées des points A et B.

\hspace{0.2cm}x_{A}\hspace{0.05cm}y_{A}\hspace{0.05cm}z_{A}\hspace{2.1cm}x_{B}\hspace{0.05cm}y_{B}\hspace{0.05cm}z_{B}

A(1;1;3)\hspace{2cm}B(4;5;0)

J’écris la formule :

\overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{AB}(4-1;5-1;0-3)

\overrightarrow{AB}(3;4;-3)

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CD}.

Je repère les coordonnées des points C et D.

\hspace{0.2cm}x_{C}\hspace{0.05cm}y_{C}\hspace{0.05cm}z_{C}\hspace{2.1cm}x_{D}\hspace{0.05cm}y_{D}\hspace{0.05cm}z_{D}

C(6;1;1)\hspace{2cm}D(1;4;0)

J’écris la formule :

\overrightarrow{CD}(x_{D}-x_{C};y_{D}-y_{C};z_{D}-z_{C})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{CD}(1-6;4-1;0-1)

\overrightarrow{CD}(-5;3;-1)

On calcule le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}.

Pour calculer  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}, on remplace : 

 x par 3 ,  y par 4 ,  z par (-3).

Et

 x’ par -5 ,  y’ par 3 ,  z’ par -1.

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=3\times (-5)+4\times 3+(-3)\times (-1)\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-15+12+3\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0

Donc les vecteurs  \overrightarrow{AB} et  \overrightarrow{CD} sont orthogonaux.

Donc les droites  (AB) et  (CD) sont orthogonales.

 

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}.

Je repère les coordonnées des points A et B.

\hspace{0.3cm}x_{A}\hspace{0.05cm}y_{A}\hspace{0.05cm}z_{A}\hspace{2.5cm}x_{B}\hspace{0.05cm}y_{B}\hspace{0.05cm}z_{B}

A(1;-2;6)\hspace{2cm}B(9;-1;-1)

J’écris la formule :

\overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{AB}(9-1;-1-(-2);-1-6)

\overrightarrow{AB}(8;-1+2;-7)

\overrightarrow{AB}(8;1;-7)

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CD}.

Je repère les coordonnées des points C et D.

\hspace{0.3cm}x_{C}\hspace{0.05cm}y_{C}\hspace{0.05cm}z_{C}\hspace{2.4cm}x_{D}\hspace{0.05cm}y_{D}\hspace{0.05cm}z_{D}

C(4;3;-3)\hspace{2cm}D(6;1;-1)

J’écris la formule :

\overrightarrow{CD}(x_{D}-x_{C};y_{D}-y_{C};z_{D}-z_{C})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{CD}(6-4;1-3;(-1)-(-3))

\overrightarrow{CD}(2;-2;-1+3)

\overrightarrow{CD}(2;-2;2)

On calcule le produit scalaire  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}.

Pour calculer  \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}, on remplace : 

 x par 8 ,  y par 1 ,  z par (-7).

Et

 x’ par 2 ,  y’ par -2 ,  z’ par 2.

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=8\times 2+1\times (-2)+(-7)\times 2\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=16-2-14\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0

Donc les vecteurs  \overrightarrow{AB} et  \overrightarrow{CD} sont orthogonaux.

Donc les droites  (AB) et  (CD) sont orthogonales.

 

\overrightarrow{u}(2;-3;5). 

Pour calculer ||\overrightarrow{u}||, on remplace :   x par 2 ,  y par (-3) ,  z par 5. Dans :

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{2^2+(-3)^2+5^2}

On calcule les puissances en priorité.

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{4+9+25}

Puis on fait la somme.

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{38}

 

\overrightarrow{u}(8;6;0). 

Pour calculer ||\overrightarrow{u}||, on remplace :   x par 8 ,  y par 6 ,  z par 0. Dans :

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{8^2+6^2+0^2}

On calcule les puissances en priorité.

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{64+36+0}

Puis on fait la somme.

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{100}

||\overrightarrow{u}||=10

 

 

\overrightarrow{u}(\sqrt{2};-1;-5). 

Pour calculer ||\overrightarrow{u}||, on remplace :   x par \sqrt{2} ,  y par (-1) ,  z par (-5). Dans :

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{\sqrt{2}^2+(-1)^2+(-5)^2}

On calcule les puissances en priorité.

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{2+1+25}

Puis on fait la somme.

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{28}

Pour plus d’élégance. 

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{4\times 7}

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{4}\times \sqrt{7}

||\overrightarrow{u}||=2\sqrt{7}

\overrightarrow{u}(3;4;0). 

Pour calculer ||\overrightarrow{u}||, on remplace :   x par 3 ,  y par 4 ,  z par 0. Dans :

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{3^2+4^2+0^2}

On calcule les puissances en priorité.

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{9+16+0}

Puis on fait la somme.

||\overrightarrow{u}||=\sqrt{25}

||\overrightarrow{u}||=5

 

Pour déterminer les coordonnées du point A, il faut :

Partir de l’origine  D  pour se rendre au point A  en se déplaçant d’abord suivant la direction du premier vecteur du repère ( ici \overrightarrow{DA}) puis suivant la direction du deuxième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{DC}) et enfin suivant la direction du troisième vecteur du repère  ( ici \overrightarrow{DH}).

On part de  D, on se déplace de  1\times\overrightarrow{DA} puis de  0\times\overrightarrow{DC} et de  0\times\overrightarrow{DH}. 

Donc A(1;0;0) dans le repère  (D; \overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH}).

Pour déterminer les coordonnées du point G, il faut :

Partir de l’origine  D  pour se rendre au point G  en se déplaçant d’abord suivant la direction du premier vecteur du repère ( ici \overrightarrow{DA}) puis suivant la direction du deuxième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{DC}) et enfin suivant la direction du troisième vecteur du repère  ( ici \overrightarrow{DH}).

On part de  D, on se déplace de  0\times\overrightarrow{DA} puis de  1\times\overrightarrow{DC} et de  1\times\overrightarrow{DH}. 

Donc G(0;1;1) dans le repère  (D; \overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH}).

A(1;0;0)) et G(0;1;1)

AG=\sqrt{(x_G-x_A)^2+(y_G-y_A)^2+(z_G-z_A)^2}.

On remplace x_G;y_G;z_G par 0;1;1 et x_A;y_A;z_A par 1;0;0

AG=\sqrt{(0-1)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}

On effectue ce qui est entre parenthèses.

AG=\sqrt{(-1)^2+(1)^2+(1)^2}

On effectue les puissances

AG=\sqrt{1+1+1}

On effectue la somme.

AG=\sqrt{3}.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.