Sommaire
- 1. Ensemble des nombres complexes
- 2. Opérations sur les nombres complexes
- 2.1. Définition (l’opposé d’un nombre complexe)
- 2.2. Propriétés ( somme et produit de nombres complexes )
- 2.3. Les calculs avec des nombres complexes avec la TI 83 premium CE.
- 2.4. Exercice n°2
- 2.5. Exercice n°3
- 2.6. Résoudre des équations dans C avec Géogébra.
- 2.7. Exercice n°4
- 2.8. Définition et propriété ( inverse d’un nombre complexe non nul )
- 2.9. Exercice n°5
- 2.10. Définition ( quotient de deux complexes )
- 2.11. Exercice n°6
- 2.12. Exercice n°7
- 3. Conjugué d’un nombre complexe
- 4. Formule du binôme
Ensemble des nombres complexes
Définition
Il existe un ensemble noté \mathbf{C} et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes :
- \mathbf{R}\subset\mathbf{C}
- L’ensemble \mathbf{C}est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles de \mathbf{R} et les règles de calcul restent les mêmes.
- Il existe un nombre complexe, noté i, tel que i^2=-1.
- Tout nombre complexe s’écrit de façon unique sous la forme a+ib avec a et b réels.
Exemples : 3 , i , 3+i , 3i sont des nombres complexes.
Définition
L’écriture a+ib (avec a et b réels) d’un nombre complexe z s’appelle la forme algébrique d’un complexe
a est appelée la partie réelle de z et est notée Re(z)
b est appelée la partie imaginaire de z et est notée Im(z) .
Exercice n°1
Déterminer dans chaque cas, la partie réelle et la partie imaginaire de z.
z=3+2i
z=-1+i
z=-2i+6
z=9
z=4i
z=-5i
z=3i-2
z=i
Remarque :
Si Re(z)=0 , on dit que z est un imaginaire pur.
Si Im(z)=0 , on dit que z est un réel.
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Opérations sur les nombres complexes
Soient deux nombres complexes z et z' de formes algébriques respectives z=a+ib et z'=a'+ib'
Définition (l’opposé d’un nombre complexe)
L’opposé d’un nombre complexe est le nombre complexe -z défini par
-z=-a-ib
Exemples : L’opposé de 3+2i est -3-2i, l’opposé de 3-i est -3+i et l’opposé de -6-2i est 6+2i.
Propriétés ( somme et produit de nombres complexes )
z+z'=(a+a')+i(b+b')
z.z'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)
Démonstration de la formule du produit
Voici le début de la démonstration :
z.z'=(a+ib)(a'+ib')
On développe
\hspace{0.6cm}=aa'+…
Les calculs avec des nombres complexes avec la TI 83 premium CE.
Appuyer sur la touche mode du clavier de la calculatrice.
Sur la 8ème ligne sélectionner a+bi.
Quand on tape des calculs avec la calculatrice, pour obtenir le i, taper sur la touche 2nde puis sur la touche . située entre 0 et (-) .
Exercice n°2
On considère z_1=3-2i et z_2=-1+2i
Déterminer la forme algébrique des complexes suivants.
z_1+z_2
3z_1
z_1\times z_2
(z_1)^2
Exercice n°3
On considère z_1=\sqrt{2}+i et z_2=\sqrt{2}-i
Déterminer la forme algébrique des complexes suivants.
z_1+z_2
z=\sqrt{2}z_1
z_1\times z_2
(z_1)^2
Résoudre des équations dans C avec Géogébra.
Ouvrir une page de Calcul Formel comme ci-dessous ( elle est active, vous pouvez l’utiliser ).
Saisir CSolutions(équation,variable) puis faire entrer.
Pour saisir i, il faut appuyer sur les touches Alt et i .
On l’utilise pour conjecturer les résultats de l’exercice n°4 ci-dessous.
Exercice n°4
Résoudre les équations suivantes dans \mathbf{C}.
1+2i+z=2+i
4+2z=3-i
2i-3z=3-i
3+i-2z=5+3i
Définition et propriété ( inverse d’un nombre complexe non nul )
Tout nombre complexe non nul z de forme algébrique z=a+ib admet un inverse noté \frac{1}{z} de forme algébrique
\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{(-b)}{a^2+b^2}
Démonstration de la formule de l’inverse
Voici le début de la démonstration :
\frac{1}{z}=\frac{1}{a+ib}
On multiplie le second membre par \frac{a-ib}{a-ib}
\hspace{0.3cm}=\frac{1}{a+ib}\times \frac{a-ib}{a-ib}
Exercice n°5
Déterminer la forme algébrique de l’inverse des nombres complexes suivants.
z=1+i
z=2-3i
z=\sqrt{3}+i
z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}
Définition ( quotient de deux complexes )
Soient deux nombres complexes z et z' tels que z' soit non nul.
Alors le quotient \frac{z}{z'} est égal à z\times \frac{1}{z'}.
Exercice n°6
Déterminer dans chaque cas, la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants.
z_1=\frac{3}{1-i}
z_2=\frac{3-i}{1+2i}
z_3=\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}
z_4=\frac{1+5i}{-2+i}
Exercice n°7
Résoudre les équations suivantes dans \mathbf{C}.
(1+i)z=2+i
iz=3-i
(1+2i)z=3-2i
2iz=5+3i
Conjugué d’un nombre complexe
Définition (conjugué d’un nombre complexe)
Soit z un nombre complexe tel que z=a+ib
Le conjugué de z noté \overline{z} est le nombre complexe défini par
\overline{z}=a-ib.
Exemples : Le conjugué de z=3+2i est \overline{z}=3-2i, le conjugué de z=2i est \overline{z}=-2i et le conjugué de z=3 est \overline{z}=3.
Calculer le conjugué avec la TI 83 premium CE.
Appuyer sur la touche math du clavier de la calculatrice.
Se déplacer dans la colonne CMPLX.
Sur la 1ère ligne sélectionner conj( et saisir à al suite le nombre complexe.
Conjecturons le conjugué du premier complexe de l’exercice n°8
Exercice n°8
Déterminer les conjugués des nombres complexes suivants.
6-3i
2+i-\sqrt{2}
-5i
8
13i-12
\frac{7-6i}{5}
\frac{\sqrt{2}}{2}i
2i+3
Propriétés (opérations avec les conjugués )
Soit z et z' deux nombres complexes.
\overline{-z}=-\overline{z}
\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}
\overline{z\times z'}=\overline{z}\times \overline{z'}
Pour tout entier n, \overline{z^n}=\overline{z}^n
Si z\neq 0, \overline{(\frac{1}{z})}=\frac{1}{\overline{z}}
Si z\neq 0, \overline{(\frac{z}{z'})}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}
Exercice n°9
Déterminer les conjugués des nombres complexes suivants en fonction de \overline{z}.
3z
2iz
z+1-2i
\frac{z+1}{3}
\frac{z+1}{z-i}
z^2+2z
\frac{z-i}{z+i}
3z+5i
Propriétés du conjugué
Pour tout nombre complexe z.
z+\overline{z}=2Re(z)
z-\overline{z}=2iIm(z)
z \in \mathbf{R}\iff z=\overline{z}
z est imaginaire pur \iff z=-\overline{z}
Exercice n°10
On considère z=\frac{3-i}{1+i}.
- Déterminer la forme algébrique de z.
2. En utilisant les propriétés précédentes, en déduire les valeurs de z+\overline{z} et z-\overline{z}.
Formule du binôme
Propriété : Formule du binôme de Newton
Soit a et b deux nombres complexes.
Pour tout entier naturel n, on a
(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}
Démonstration de la formule du binôme de Newton
On va montrer, par récurrence, que : pour tout entier naturel n, on a (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}.
Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.
(a+b)^0=\sum\limits_{k=0}^{0}\binom{0}{k}a^0b^{0-k} est vraie car (a+b)^0=1 et \sum\limits_{k=0}^{0}\binom{0}{0}a^0b^0=1 .
Transmission ou hérédité:
(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\\(a+b)^{n+1}=(\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k})(a+b)\\(a+b)^{n+1}=a\times \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}+b\times \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\\(a+b)^{n+1}= \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+ \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k+1}\\(a+b)^{n+1}= \binom{n}{n}a^{n+1}b^{n-n}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+ \binom{n}{0}a^{0}b^{n-0+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1}\\(a+b)^{n+1}= a^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+ b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1}\\(a+b)^{n+1}= a^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{k}b^{n-k+1}+ b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1}\\(a+b)^{n+1}= a^{n+1}+b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k})a^{k} b^{n-k+1}\\(a+b)^{n+1}= a^{n+1}+b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{k} b^{n-k+1}\\(a+b)^{n+1}=\binom{n+1}{n+1} a^{n+1}b^0+\binom{n+1}{0}a^0 b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{k} b^{n-k+1}\\(a+b)^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^k b^{n+1-k}
étape n°1 : j’écris la propriété au rang n en haut.
étape n°3 : On muliplie l’égalité de l’étape n°1 par (a+b).
étape n°4 : On développe le produit de droite.
étape n°5 : On effectue les deux produits de droite.
étape n°6 : on remplace \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k} par \binom{n}{n}a^{n+1}b^{n-n}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k} et \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1} par \binom{n}{0}a^{0}b^{n-0+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1}.
étape n°7 : on remplace \binom{n}{n} par 1 et \binom{n}{0} par 1.
étape n°8 : on remplace \sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k} par \sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{k}b^{n-k+1}
étape n°9 : on met a^{k}b^{n-k+1} en facteur dans \sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k+1}+ \sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{k}b^{n-k+1}
étape n°10 : on utilise la propriété \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}
étape n°11 : on remplace a^{n+1} par \binom{n+1}{n+1} a^{n+1}b^0 et b^{n+1} par \binom{n+1}{0} a^{0}b^{n+1}.
étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.
Conclusion
Donc pour tout entier naturel n, on a (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}
Exercice n°11
En utilisant la formule du binôme, déterminer la forme algébrique de (1+i)^4.