Définition : affixe d’un point et point image.
A tout point M du plan de coordonnées (x;y) est associé le complexe z=x+iy appelé affixe du point M.
A tout nombre complexe z=x+iy, on associe le point M de coordonnées (x;y).
Le plan muni d’un repère orthonormal direct dans lequel on représente des nombres complexes est appelé plan complexe
Exercice n°1
En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants :
A d’affixe z_A=2+3i, B d’affixe z_B=-2-i, C d’affixe z_C=-4 et D d’affixe z_D=-3i.
Exercice n°2
- En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants :
A d’affixe z_A=1+2i, A' d’affixe z_A'=\overline{z_A} et A" d’affixe z_A"=-z_A
2. a. Par quelle transformation géométrique, obtient-on A' à partir de A?
2. b. Par quelle transformation géométrique, obtient-on A" à partir de A?
Propriété
Soit M un point du plan d’affixe z, alors
- -z est l’affixe du symétrique du point M par rapport à l’origine
- \overline{z} est l’affixe du symétrique du point M par rapport à l’axe des abscisses
Exemple : voir exercice n°2
Théorème : égalité de deux points
Soit A(z_A) et B(z_B) deux points du plan complexe.
A=B \iff z_A=z_B.
Théorème : affixe du milieu du segment [AB]
Soit A(z_A) et B(z_B) deux points du plan complexe.
Le milieu de [AB] a pour affixe \frac{z_A+z_B}{2}.
Exercice n°3
- En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants :
A(z_A=1+i) , B(z_B=2+4i) , C(z_C=5+4i) et D(z_D=4+i).
2. a. Calculer l’affixe du milieu de [AC].
2. b. Calculer l’affixe du milieu de [BD].
2. c. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Exercice n°4
- En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants :
A(z_A=-2+i) , B(z_B=1-2i) , C(z_C=4-i).
2. a. Calculer l’affixe du milieu de [AC].
2. b. On considère le point D qui est le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. On note x+iy l’affixe du point de D. Exprimer l’affixe du milieu de [BD] en fonction de x et de y.
2. c. En déduire, par le calcul, l’affixe du point D.
Définition : affixe d’un vecteur
A tout vecteur \overrightarrow{v} du plan de coordonnées (a;b) est associé le complexe z=a+ib appelé affixe du vecteur \overrightarrow{v}.
Théorème : égalité de deux vecteurs
Soit \overrightarrow{v_1}(z_{\overrightarrow{v_1}}) et \overrightarrow{v_2}(z_{\overrightarrow{v_2}}) deux vecteurs du plan complexe.
\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v_2} \iff z_{\overrightarrow{v_1}}=z_{\overrightarrow{v_2}}.
Théorème : affixe d’un vecteur
Soit A(z_A) et B(z_B) deux points du plan complexe.
\overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
Exemple :
Soit A(z_A) et B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
Soit A(2-3i) et B(6+i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(6+i)-(2-3i).
\hspace{7.52cm}=6+i-2+3i\\\hspace{7.52cm}=4+4i
Exercice n°5
Soient A(z_A=-1+2i) , B(z_B=1+3i) , C(z_C=5).
Calculer les affixes des vecteurs suivants. On pourra vérifier le résultat en utilisant le programme en Python que vous trouverez dans l’article : TE. Programmer sa TI 83 Edition PYTHON en langage Python : calculer l’affixe d’un vecteur.
\overrightarrow{AB}
\overrightarrow{BC}
\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{BA}
Exercice n°6
Soient A(z_A=-3+3i) , B(z_B=4i) , C(z_C=2+2i) et D(z_D=-1+i).
- Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}.
2. Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{DC}.
3. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Exercice n°7
Soient A(z_A=-1+3i) , B(z_B=4+5i) , C(z_C=6+3i).
On veut déterminer l’affixe du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
Comme on ne la connaît pas, on notera x+iy l’affixe du point D.
- Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}.
2. Exprimer l’affixe du vecteur \overrightarrow{DC} en fonction de x et de y.
3. En utilisant le fait que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} en déduire les valeurs de x et de y. Conclure.
Théorème : opérations et affixe d’un vecteur.
Soit \overrightarrow{u_1}(z_1) et \overrightarrow{u_2}(z_2) deux vecteurs.
\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2} a pour affixe z_1+z_2
\overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2} a pour affixe z_1-z_2
-\overrightarrow{u_1} a pour affixe -z_1
k\overrightarrow{u_1} a pour affixe kz_1
Exercice n°8
Soient A(z_A=2-i) , B(z_B=3+3i).
Le but de l’exercice est de déterminer l’affixe du point C défini par \overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}.
Comme on ne la connaît pas, on notera x+iy l’affixe du point C.
- Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}. Puis celle de 4\overrightarrow{AB}
2. Exprimer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AC} en fonction de x et de y.
3. déduire des questions précédentes l’affixe du point C.
Exercice n°9
Soient A(z_A=3-3i) , B(z_B=6-i) et C(z_C=-2+2i).
Le but de l’exercice est de déterminer l’affixe du point D défini par \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} soit un parallélogramme.
Comme on ne la connaît pas, on notera x+iy l’affixe du point D.
1.a.Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}. Puis celle de 2\overrightarrow{AB}
1.b.Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AC}.
1.c. déduire des questions précédentes l’affixe du vecteur 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.
2. Exprimer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AD} en fonction de x et de y.
3. déduire des questions précédentes l’affixe du point D.