TE. Arithmétique : nombres premiers

Arithmétique, Niveau maths expertes, Nombres premiers

Nombres premiers

Définition

On dit qu’un nombre entier naturel est premier s’il admet exactement deux diviseurs $1$ et lui-même

Remarques

$0$ n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs.

$1$ n’est pas premier car il n’admet qu’un seul diviseur.

$2$ est le seul nombre pair premier car les autres nombres pairs ont au moins trois diviseurs : $1$ , $2$ et eux-mêmes.

Crible d’Eratosthène pour déterminer les nombres premiers inférieurs à $100$ .

On supprime le nombre $1$ , on garde le nombre $2$ et on supprime tous les multiples de $2$ .
On garde le nombre $3$ et on supprime tous les multiples de $3$ .
On garde le nombre $5$ et on supprime tous les multiples de $5$ .
On garde le nombre $7$ et on supprime tous les multiples de $7$ .

Comme $\sqrt{100}=10$ , on s’arrête car sinon on passerait à $11$ qui est plus grand que $\sqrt{100}=10$ .

Reconnaissance d’un nombre premier

Propriété

$n$ désigne un nombre entier naturel supérieur ou égal à $4$ .

Si $n$ n’est pas premier, alors $n$ admet au moins un diviseur premier $p$ son plus petit diviseur autre que $1$ tel que $2\leq p \leq \sqrt{n}$ .

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Exercice n°1

Les nombres suivants sont-ils premiers ?

$419$

$53$

$119$

$347$

Je vérifie avec un programme Python

L’ensemble des nombres premiers

Propriété

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration

On raisonne par l’absurde, on suppose qu’il existe un nombre fini de nombres premiers, par exemple $n$ que l’on note $p_1,p_2,\dots,p_n$ .

On considère le nombre $p_1p_2\dotsp_n+1$ . Ce nombre entier est supérieur ou égal à $2$ , donc il admet au moins un diviseur premier $p_i$ parmi $p_1,p_2,\dots,p_n$ .

$p_i$ divise $p_1p_2\dotsp_n+1$ et $p_i$ divise $p_1p_2\dotsp_n$ donc il divise aussi la différence c’est-à-dire $1$ . Ce qui est impossible.

Donc il existe un nombre infini de nombres entiers.