TE. Arithmétique : Division euclidienne

Soient $a$ un entier relatif et $b$ un entier naturel non nul.

Il existe un couple d’entiers relatifs $(q;r)$ tels que $a=bq+r$ et $0\leq r<b$ .

$q$ est le quotient et $r$ est le reste de la division de $a$ par $b$ .

$117=28\times 4+5$ représente la division de $117$ par $28$ avec un quotient égal à $28$ et le reste égal à $5$ . Cette écriture ne peut pas représenter la division de $117$ par $4$ car le reste égal à $5$ serait plus grand que le diviseur $4$ .
$95=3\times 31+2$ représente la division de $95$ par $3$ avec un quotient égal à $31$ et le reste égal à $2$ . Cette écriture peut aussi représenter la division de $95$ par $31$ avec un quotient égal à $3$ et le reste égal à $2$ .

Ecrire le programme suivant, l’instruction $a%b$ représente la division de $a$ par $b$

On obtient donc

Dans la division de $15$ par $2$ le quotient est égal à $7$ et le reste est égal à $1$ . Donc $15=2\times 7+1$ .

Dans la division de $-49$ par $6$ le quotient est égal à $-9$ et le reste est égal à $5$ . Donc $-49=6\times (-9)+5$ .

Dans la division de $81$ par $27$ le quotient est égal à $3$ et le reste est égal à $0$ . Donc $81=27\times 3+0$ ou

$81=27\times 3$ .

Dans la division de $-72$ par $36$ le quotient est égal à $-2$ et le reste est égal à $0$ . Donc $-72=36\times (-2)+0$ ou $-72=36\times (-2)$ .

Dans chaque cas, effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ .

$a=157$ et $b=13$ .

$a=1910$ et $b=83$ .

$a=-157$ et $b=13$ .

$a=-1910$ et $b=83$ .

$n$ désigne un nombre entier naturel.

On pose $A=n(n^2+5)$ .

Démontrer que, pour tout entier $n$ , $A$ est divisible par $3$ .

Par quel entier $n$ faut-il diviser $1088$ pour obtenir $37$ comme quotient et $15$ pour reste.

Indiquer si les égalités suivantes correspondent à une ou deux divisions euclidiennes. Préciser alors le quotient et le reste.

19=3\times 6+1

732=42\times 17+18

$-21=-2\times 12+3$ .