TS. Bac 2022 espace exercice n°1

Algèbre et géométrie, Exercices bac 2022 : géométrie dans l'espace, Niveau terminale spécialité

Exercice n°1 Polynésie 5 mai 2022

L’espace est rapporté un repère orthonormal où l’on considère :
• les points $A(2 ; -1 ; 0)$ , $B(1 ; 0; -3)$ , $C(6 ; 6 ; 1)$ et $D(1 ; 2 ; 4)$ .
• Le plan $P$ d’équation cartésienne $2x-y-z+4=0$

On va utiliser la fenêtre active Géogébra déjà complétée pour éventuellement conjecturer ou valider des réponses.

Pour placer $A$ dans le repère, on a cliqué sur le deuxième onglet en haut à gauche puis on a saisi $A=(2,-1,0)$ dans la colonne de gauche et on a validé avec enter.

Idem pour $B,C,D$ .

Pour tracer le plan $P$ dans le repère, cliquer sur le huitième onglet en haut à gauche puis saisir

$2x-y-z+4=0$ dans la colonne de gauche et valider avec enter.

1. a. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

b. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$ .

c. En déduire la mesure en degrés de l’angle $\widehat{ABC}$ arrondie au degré.

2. a. Démontrer que le plan $P$ est parallèle au plan $(ABC)$ .

2. b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$ .

2. c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par le point $D$ .

2. d. Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$ a pour coordonnées $(4;\frac{1}{2};\frac{5}{2})$

3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par $V=\frac{1}{3}Bh$ où $B$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base.
Calculer l’aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide $ABCD$ est égal à 16,5 unités de volume.

Pour montrer que le plan $P$ est parallèle au plan $(ABC)$ , on va montrer qu’un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal au plan $P$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan $(ABC)\\P$ a pour équation cartésienne $2x-y-z+4=0$ donc $\overrightarrow{n}(2;-1;-1)$ .

On a montré $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(-1;1;-3)$

On a montré $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(4;7;1)$

Ensuite on calcule les produit scalaires $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}$ .

On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}$ .

$\overrightarrow{n}(2;-1;-1)$ .

$\overrightarrow{AB}(-1;1;-3)$ .

Pour calculer $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}$ , on remplace :

$x$ par $-1$ , $y$ par $1$ , $z$ par $-3$ .

$x’$ par $(-1)$ , $y’$ par $1$ , $z’$ par $(-3)$ , dans :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’$

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=2\times (-1)+(-1)\times 1+(-1)\times (-3)\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=-2-1+ 3\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0$

Donc les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont orthogonaux.

On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}$ .

$\overrightarrow{n}(2;-1;-1)$ .

$\overrightarrow{AC}(4;7;1)$ .

Pour calculer $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}$ , on remplace :

$x$ par $2$ , $y$ par $(-1)$ , $z$ par $(-1)$ .

$x’$ par $4$ , $y’$ par $7$ , $z’$ par $1$ , dans :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’$

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=2\times 4+(-1)\times 7+(-1)\times 1\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=8-7-1\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=0$

Donc les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , donc il est normal au plan $(ABC)$ . Comme le vecteur $\overrightarrow{n}$ est aussi normal à $P$ , on peut conclure que le plan $P$ est parallèle au plan $(ABC)$ .