Exercice n°1 ( sujet 0 session 2021 )
On considère le cube ABCDEFGH de côté 1, le milieu I de [EF]etet J le symétrique de E par rapport à F.
Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormé (A;AB;AD;AE).
1. a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points I et J.
Pour afficher les coordonnées du point J, par exemple, cliquer droit sur le point J de la fenêtre active Géogébra ci-dessus. Apparaît alors Point J(2;0;1).
b. En déduire les coordonnées des vecteurs DJ , BI et BG.
Pour conjecturer les coordonnées du vecteur DJ, par exemple, à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le troisième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point D puis sur le point J. Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaissent les coordonnées du vecteur DJ.
c. Montrer que DJ est un vecteur normal au plan (BGI).
d. Déterminer une équation cartésienne du plan (BGI).
Pour conjecturer une équation cartésienne du plan (BGI) à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le huitième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Plan passant par 3 points dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point B puis sur le point G et sur le point I . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît l’équation cartésienne du plan (BGI) :x−0.5y+0.5z=1 .
2. On note d la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d.
Pour conjecturer une représentation paramétrique de la droite d à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le quatrième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Orthogonale dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point F puis sur le plan (BGI) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une représentation paramétrique de la droite d : X=(1,0,1)+λ(1,−0.5,0.5).
b. L est le point d’intersection de la droite d et du plan (BGI). Déterminer les coordonnées de L par le calcul.
Pour conjecturer les coordonnées du point L à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Intersection dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur la droite d puis sur le plan (BGI) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît K=intersection(f,p) : (0.67,0.17,0.83).
Remarque : on peut renommer K en L.
3. On rappelle que le volume V d’une pyramide est donné par la formule
V=31×B×h
où B est l’aire d’une base et h la hauteur associée à cette base.
a. Calculer le volume de la pyramide FBGI.
Pour conjecturer le volume de la pyramide FBGI à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Saisir dans la colonne Algèbre Pyramide(I,F,G,B), apparaît alors en dessous le nombre 0.08 qui est son volume.
b. En déduire l’aire du triangle BGI.
Pour conjecturer l’aire du triangle BGI à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le cinquième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Polygone dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point B puis sur le point G et sur le point I . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît l’aire du triangle BGI : 0.61 .