TS. Bac2021 espace exercice n°1

Exercice n°1 ( sujet 0 session 2021 )

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH de côté 11, le milieu II de [EF]et[EF] et et JJ le symétrique de EE par rapport à FF.

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormé (A;AB;AD;AE)(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}).

1. a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points II et JJ.

Pour afficher les coordonnées du point JJ, par exemple, cliquer droit sur le point JJ de la fenêtre active Géogébra ci-dessus. Apparaît alors Point  J(2;0;1)J(2;0;1).

b. En déduire les coordonnées des vecteurs DJ\overrightarrow{DJ} , BI\overrightarrow{BI} et BG\overrightarrow{BG}.

Pour conjecturer les coordonnées du vecteur DJ\overrightarrow{DJ}, par exemple, à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le troisième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point DD puis sur le point JJ. Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaissent les coordonnées du vecteur DJ\overrightarrow{DJ}.

c. Montrer que DJ\overrightarrow{DJ} est un vecteur normal au plan (BGI)(BGI).

d. Déterminer une équation cartésienne du plan (BGI)(BGI).

Pour conjecturer une équation cartésienne du plan (BGI)(BGI) à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le huitième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Plan passant par 3 points dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point BB puis sur le point GG et sur le point II . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît l’équation cartésienne du plan   (BGI)(BGI) :x0.5y+0.5z=1x-0.5y+0.5z=1 .

2. On note dd la droite passant par FF et orthogonale au plan (BGI)(BGI).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd.

Pour conjecturer une représentation paramétrique de la droite dd à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le quatrième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Orthogonale dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point FF puis sur le plan (BGI)(BGI) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une représentation paramétrique de la droite dd  :  X=(1,0,1)+λ(1,0.5,0.5)X=(1,0,1)+\lambda (1,-0.5,0.5).

b.  LL est le point d’intersection de la droite dd et du plan (BGI)(BGI). Déterminer les coordonnées de LL  par le calcul.

Pour conjecturer les coordonnées du point LL à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Intersection dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur la droite  dd puis sur le plan (BGI)(BGI) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît  K=K=intersection(f,p)   :  (0.67,0.17,0.83)(0.67,0.17,0.83).

Remarque : on peut renommer KK en LL.

3. On rappelle que le volume VV d’une pyramide est donné par la formule
V=13×B×hV=\frac{1}{3}\times B\times h
BB  est l’aire d’une base et hh la hauteur associée à cette base.

a. Calculer le volume de la pyramide FBGIFBGI.

Pour conjecturer le volume de la pyramide FBGIFBGI à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Saisir dans la colonne Algèbre  Pyramide(I,F,G,B)Pyramide(I,F,G,B), apparaît alors en dessous le nombre 0.080.08 qui est son volume.

b. En déduire l’aire du triangle BGIBGI.

Pour conjecturer l’aire du triangle BGIBGI à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le cinquième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Polygone dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point BB puis sur le point GG et sur le point II . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît l’aire du triangle BGIBGI  :  0.610.61 .