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TS. Bac2021 espace exercice n°2

Exercice n°2 ( 15 mars 2021 sujet 2 )

Dans l’espace rapporté au repère orthonormé (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}), on considère les pointsA(2;0;0),B(0;3;0) et C(0;0;1).

L’objectif de cet exercice est de calculer l’aire du triangle ABC.

Pour conjecturer l’aire du triangle ABC à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le cinquième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Polygone dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point A puis sur le point B et sur le point C . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît l’aire du triangle ABC  :  3.5 .

1. a. Montrer que le vecteur \overrightarrow{n}(3;2;6) est normal au plan (ABC).

correction

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 3x+2y+6z-6=0.

Pour conjecturer une équation cartésienne du plan (ABC) à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le huitième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Plan passant par 3 points dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point A puis sur le point B et sur le point C . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une équation cartésienne du plan   (ABC) :-3x-2y-6z=-6 .

correction

2. On note d la droite passant par 0 et orthogonale au plan (ABC).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d.

Pour conjecturer une représentation paramétrique de la droite d à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le quatrième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Orthogonale dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point O puis sur le plan (ABC) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une représentation paramétrique de la droite d  :  X=(0,0,0)+\lambda (-3,-2,-6).

correction

b. Montrer que la droite d coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées (\frac{18}{49}; \frac{12}{49};\frac{36}{49} ).

Pour conjecturer les coordonnées du point H à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Intersection dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur la droite  d puis sur le plan (ABC) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît  E=intersection(f,p)   :  (0.37,0.24,0.73).

Remarque : on peut renommer E en H.

utiliser la TI 83 CE pour résoudre un système
correction

c. Calculer la distance OH.

Pour conjecturer la distance  OH à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le onzième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point 0 puis sur le point H. Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît la distance 0.86.

correction

3. On rappelle que le volume V d’une pyramide est donné par la formule
V=\frac{1}{3}\times B\times h
où B  est l’aire d’une base et h la hauteur associée à cette base.
En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l’aire
du triangle ABC.

Pour conjecturer le volume de la pyramide OABC à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Saisir dans la colonne Algèbre  Pyramide(O,A,B,C), apparaît alors en dessous le nombre 1 qui est son volume.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Pour montrer que le vecteur  \overrightarrow{n} est normal au plan (ABC), on va montrer qu’il est orthogonal aux vecteurs non colinéaires  \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

On commence par calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}.

Je repère les coordonnées des points A et B.

\hspace{0.2cm}x_{A}\hspace{0.05cm}y_{A}\hspace{0.05cm}z_{A}\hspace{2.1cm}x_{B}\hspace{0.05cm}y_{B}\hspace{0.05cm}z_{B}

A(2;0;0)\hspace{2cm}B(0;3;0)

J’écris la formule :

\overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{AB}(0-2;3-0;0-0)

\overrightarrow{AB}(-2;3;0)

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC}.

Je repère les coordonnées des points A et C.

\hspace{0.2cm}x_{A}\hspace{0.05cm}y_{A}\hspace{0.05cm}z_{A}\hspace{2.1cm}x_{C}\hspace{0.05cm}y_{C}\hspace{0.05cm}z_{C}

A(2;0;0)\hspace{2cm}C(0;0;1)

J’écris la formule :

\overrightarrow{AC}(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A};z_{C}-z_{A})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{AC}(0-2;0-0;1-0)

\overrightarrow{AC}(-2;0;1)

Ensuite on calcule les produit scalaires  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}.

On calcule le produit scalaire  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}.

\overrightarrow{n}(3;2;6).

\overrightarrow{AB}(-2;3;0).

Pour calculer  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}, on remplace : 

 x par 3 ,  y par 2 ,  z par 6.

 x’ par (-2) ,  y’ par 3 ,  z’ par 0, dans :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=3\times (-2)+2\times 3+6\times 0\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=-6+6+0\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0

Donc les vecteurs  \overrightarrow{n} et  \overrightarrow{AB} sont orthogonaux.

On calcule le produit scalaire  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}.

\overrightarrow{n}(3;2;6).

\overrightarrow{AC}(-2;0;1).

Pour calculer  \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}, on remplace : 

 x par 3 ,  y par 2 ,  z par 6.

 x’ par (-2) ,  y’ par 0 ,  z’ par 1, dans :

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=3\times (-2)+2\times 0+6\times 1\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=-6+0+6\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=0

Donc les vecteurs  \overrightarrow{n} et  \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.

Le vecteur   \overrightarrow{n} est orthogonal à   \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}, donc il est normal au plan (ABC)

 

 

On veut déterminer une équation cartésienne du plan  (ABC) de vecteur normal \overrightarrow{n}.

On utilise le résultat du cours suivant : Un plan P de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b;c) a une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 où d est un nombre réel.

Comme \overrightarrow{n} a pour coordonnées (3;2;6).

On remplace a par 3 et b par 2 et c par 6 dans l’équation  ax+by+cz+d=0.

Une équation cartésienne de (ABC) est de la forme :

3x+2y+6z+d=0

Pour déterminer d, il faut remplacer x,  y et z par les coordonnées d’un point du plan et résoudre l’équation dont d est l’inconnue.

(ABC) passe par A(2;0;0), on remplace x par 2,  y par 0 et z par 0 dans 3x+2y+6z+d=0.

3\times 2+2\times 0+6\times 0+d=0

6+d=0

d=-6

Une équation cartésienne du plan  (ABC) est 3x+2y+6z-6=0

d est la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).
Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite d, il faut un vecteur directeur et un point de cette droite.

Comme d est orthogonale au plan (ABC) , alors le vecteur normal au plan  \overrightarrow{n}(3;2;6) est un vecteur directeur de la droite d.

De plus la droite d passe par le point O(0;0;0).

On remplace x_O par 0, y_O par 0, z_O par 0, a par 3,  b par 2 et c par 6 dans la représentation paramétrique :

On a déterminé une représentation paramétrique de la droite d.

Remarque : la représentation donnée par géogébra est exacte aussi car les vecteurs de coordonnées (3;2;6) et (-3;-2;-6) sont colinéaires.

H est le point d’intersection de la droite d et du plan (ABC). 

H\in d donc ses coordonnées vérifient le système 

H\in (ABC) donc ses coordonnées vérifient l’équation 3x+2y+6z-6=0 

Comme H est le point d’intersection de la droite d et du plan (ABC). On résout donc le système suivant 

On remplace x,y,z en fonction de t dans la quatrième équation que l’on résout.

3(3t)+2(2t)+6(6t)-6=0\\9t+4t+36t-6=0\\49t-6=0\\49t=6\\t=\frac{6}{49}

Pour trouver les valeurs de x,y,z, on remplace t par \frac{6}{49} dans les 3 premières équations.

x=3\times\frac{6}{49}\\x=\frac{18}{49}
y=2\times\frac{6}{49}\\x=\frac{12}{49}
z=6\times\frac{6}{49}\\x=\frac{36}{49}

Donc H a pour coordonnées (\frac{18}{49};\frac{12}{49};\frac{36}{49}).

 

 

On calcule la distance OH.

O(0;0;0)\\H(\frac{18}{49};\frac{12}{49};\frac{36}{49})

Pour calculer la distance OH, on remplace x_H par \frac{18}{49} , y_H par \frac{12}{49} , z_H par \frac{36}{49} , x_O par 0 , y_O par 0 et z_O par 0dans la formule

OH=\sqrt{(x_H-x_O)^2+(y_H-y_O)^2+(z_H-z_O)^2}

OH=\sqrt{(\frac{18}{49}-0)^2+(\frac{12}{49}-0)^2+(\frac{36}{49}-0)^2}

On effectue ce qu’il y a entre parenthèses 

OH=\sqrt{(\frac{18}{49})^2+(\frac{12}{49})^2+(\frac{36}{49})^2}

On effectue les puissances

OH=\sqrt{\frac{324}{2401}+\frac{144}{2041}+\frac{1296}{2041}}

On ajoute 

OH=\sqrt{\frac{1764}{2401}}\\OH=\frac{\sqrt{1764}}{\sqrt{2401}}\\OH=\frac{42}{49}

On simplifie par 7.

OH=\frac{6}{7}

 

 

Le volume de la pyramide FBGI ne change pas si on change la base.

On choisit pour base le triangle OAB. La hauteur correspondante sera  [OC].

V=\frac{aire(OAB)\times OC}{3}

V=\frac{(\frac{OA\times OB}{2})\times 1}{3}

V=\frac{(\frac{2\times 3}{2})\times 1}{3}

V=\frac{3\times 1}{3}

V=1

On choisit pour base le triangle ABC. La hauteur correspondante sera  [OH].

V=\frac{aire(ABC)\times OH}{3}

V=\frac{aire(ABC)\times \frac{6}{7}}{3}

V=aire(ABC)\times \frac{6}{7}\times \frac{1}{3}

V=aire(ABC)\times \frac{2}{7}

 

On en déduit que aire(ABC)\times \frac{2}{7}=1

Donc :

aire(ABC)=\frac{1}{\frac{2}{7}}

Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse :

aire(ABC)=1\times {\frac{7}{2}}

aire(ABC)=\frac{7}{2}

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.