T. bac2022 espace exo n°4 ( N-Calédonie 26 oct 2022 )

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle ABCDEFGHABCDEFGH surmonté d’un prisme EFIHGJEFIHGJ dont une base est le triangle EIFEIF isocèle en II.
Cette maison est représentée ci-dessous.

On a AB=3,AD=2,AE=1AB=3,AD=2,AE=1.
On définit les vecteurs i=13AB\overrightarrow{i}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} , j=12AD\overrightarrow{j}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} , k=AE\overrightarrow{k}=\overrightarrow{AE}.

On munit ainsi l’espace du repère orthonormé (A,i,j,k)(A,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) .

1. Donner les coordonnées du point GG.

2. Le vecteur n(2;0;3)\overrightarrow{n}(2 ; 0 ; −3) est un vecteur normal au plan (EHI)(EHI)
Déterminer une équation cartésienne du plan (EHI)(EHI) .

3. Déterminer les coordonnées du point II.

4. Déterminer une mesure au degré près de l’angle EIF^\widehat{EIF}.

5. Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.
Le relais est représenté par le point RR de coordonnées (6;3;1)(6;-3;-1).
La tranchée est assimilée à un segment d’une droite ∆ passant par R et dirigée par le vecteur
u\overrightarrow{u} de coordonnées (3;4;1)(-3 ; 4 ;1). On souhaite vérifier que la tranchée atteindra
la maison au niveau de l’arête [BC][BC].
a. Donner une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta.

b. On admet qu’une équation du plan (BFG)(BFG) est x=3x=3.
Soit KK le point d’intersection de la droite Δ\Delta avec le plan (BFG)(BFG).
Déterminer les coordonnées du point KK.

c. Le point KK appartient-il bien à l’arête [BC][BC] ?