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T. bac2022 espace exo n°4 ( N-Calédonie 26 oct 2022 )

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d’un prisme EFIHGJ dont une base est le triangle EIF isocèle en I.
Cette maison est représentée ci-dessous.

On a AB=3,AD=2,AE=1.
On définit les vecteurs \overrightarrow{i}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{j}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} , \overrightarrow{k}=\overrightarrow{AE}.

On munit ainsi l’espace du repère orthonormé (A,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) .

1. Donner les coordonnées du point G.

correction

2. Le vecteur \overrightarrow{n}(2 ; 0 ; −3) est un vecteur normal au plan (EHI)
Déterminer une équation cartésienne du plan (EHI) .

correction

3. Déterminer les coordonnées du point I.

correction

4. Déterminer une mesure au degré près de l’angle \widehat{EIF}.

correction

5. Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.
Le relais est représenté par le point R de coordonnées (6;-3;-1).
La tranchée est assimilée à un segment d’une droite ∆ passant par R et dirigée par le vecteur
\overrightarrow{u} de coordonnées (-3 ; 4 ;1). On souhaite vérifier que la tranchée atteindra
la maison au niveau de l’arête [BC].
a. Donner une représentation paramétrique de la droite \Delta.

correction

b. On admet qu’une équation du plan (BFG) est x=3.
Soit K le point d’intersection de la droite \Delta avec le plan (BFG).
Déterminer les coordonnées du point K.

correction

c. Le point K appartient-il bien à l’arête [BC] ?

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Pour déterminer les coordonnées du point G, il faut :

Partir de l’origine  A  pour se rendre au point G  en se déplaçant d’abord suivant la direction du premier vecteur du repère ( ici \overrightarrow{i}) puis suivant la direction du deuxième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{j}) et enfin suivant la direction du troisième vecteur du repère  ( ici \overrightarrow{k}).

On part de  A, on se déplace de  3\times\overrightarrow{i} puis de  2\times\overrightarrow{j} et de  1\times\overrightarrow{k}. 

Donc G(3;2;1) dans le repère  (A; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}).

Le vecteur \overrightarrow{n}(2 ; 0 ; −3) est un vecteur normal au plan (EHI)
On veut déterminer une équation cartésienne du plan (EHI) .

On utilise le résultat du cours suivant : Un plan P de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b;c) a une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 où d est un nombre réel.

On remplace a par 2 et b par 0 et c par (-3) dans l’équation  ax+by+cz+d=0.

Une équation cartésienne de (EHI) est de la forme :

2x+0\times y+(-3)\times z+d=0

2x-3z+d=0

Pour déterminer d, il faut remplacer x,  y et z par les coordonnées d’un point du plan et résoudre l’équation dont d est l’inconnue.

(EHI) passe par E(0;0;1), on remplace x par 0,  y par 0 et z par 1 dans 2x-3z+d=0.

2\times 0-3\times 1+d=0

-3+d=0

d=3

Une équation cartésienne du plan (EHI) est donc 2x-3z+3=0.

 

On veut déterminer les coordonnées du point I.

On ne les connaît pas, on les note (x,y,z).

I se trouve dans le plan de devant : (ABF) donc y=0.

I est le sommet du triangle IEF isocèle en I donc le projeté orthogonal de I sur la droite (AB) est le milieu de [AB] donc x=\frac{3}{2}.

I se trouve dans le plan (EHI) donc ses coordonnées vérifient l’équation 2x-3z+3=0.

On remplace x par x=\frac{3}{2} dans 2x-3z+3=0 et on détermine la troisième coordonnée z.

2\times \frac{3}{2}-3z+3=0\\3-3z+3=0\\6-3z=0\\-3z=-6\\z=\frac{-6}{-3}\\z=2

Donc les coordonnées du point I sont (\frac{3}{2},0,2)

 

On veut déterminer une mesure au degré près de l’angle \widehat{EIF}.

En général, en terminale, on utilise le produit scalaire. Ici \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}. On le calcule avec les coordonnées puis on utilise la définition \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=IE.IF.cos(\widehat{EIF}) pour en déduire une mesure au degré près de l’angle \widehat{EIF}.

Calcul du produit scalaire \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}.

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IE}.

Je repère les coordonnées des points I et E.

\hspace{0.3cm}x_{I}\hspace{0.05cm}y_{I}\hspace{0.05cm}z_{I}\hspace{2cm}x_{E}\hspace{0.05cm}y_{E}\hspace{0.05cm}z_{E}

I(\frac{3}{2};0;2)\hspace{2cm}E(0;0;1)

J’écris la formule :

\overrightarrow{IE}(x_{E}-x_{I};y_{E}-y_{I};z_{E}-z_{I})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{IE}(0-\frac{3}{2};0-0;1-2)\\\overrightarrow{IE}(-\frac{3}{2};0;-1)

On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{IF}.

Je repère les coordonnées des points I et F.

\hspace{0.3cm}x_{I}\hspace{0.05cm}y_{I}\hspace{0.05cm}z_{I}\hspace{2cm}x_{F}\hspace{0.05cm}y_{F}\hspace{0.05cm}z_{F}

I(\frac{3}{2};0;2)\hspace{2cm}F(3;0;1)

J’écris la formule :

\overrightarrow{IF}(x_{F}-x_{I};y_{F}-y_{I};z_{F}-z_{I})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{IF}(3-\frac{3}{2};0-0;1-2)\\\overrightarrow{IF}(\frac{3}{2};0;-1)

On calcule le produit scalaire  \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}.

Pour calculer  \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}, on remplace : 

 x par -\frac{3}{2} ,  y par 0 ,  z par (-1).

Et

 x’ par \frac{3}{2} ,  y’ par 0 ,  z’ par -1.

Dans

\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx’+yy’+zz’

 \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=(-\frac{3}{2})\times \frac{3}{2}+0\times 0+(-1)\times (-1)\\\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=-\frac{9}{4}+0+1\\\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=-\frac{5}{4}

On exprime le produit scalaire  \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF} en fonction de l’angle \widehat{EIF}.

\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=IE.IF.cos(\widehat{EIF})

Calcul de IE.

Comme \overrightarrow{IE}(-\frac{3}{2};0;-1)

IE=\sqrt{(-\frac{3}{2})^2+0^2+(-1)^2}\\IE=\sqrt{\frac{9}{4}+1}\\IE=\sqrt{\frac{13}{4}}

Calcul de IF.

Comme \overrightarrow{IF}(\frac{3}{2};0;-1)

IF=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+0^2+(-1)^2}\\IF=\sqrt{\frac{9}{4}+1}\\IF=\sqrt{\frac{13}{4}}

\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=IE.IF.cos(\widehat{EIF})\\\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=\sqrt{\frac{13}{4}}\times \sqrt{\frac{13}{4}}.cos(\widehat{EIF})\\\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=\frac{13}{4}.cos(\widehat{EIF})

On détermine l’angle \widehat{EIF}.

\overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=-\frac{5}{4} et \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{IF}=\frac{13}{4}.cos(\widehat{EIF})

Donc 

\frac{13}{4}.cos(\widehat{EIF})=-\frac{5}{4}\\cos(\widehat{EIF})=\frac{-\frac{5}{4}}{\frac{13}{4}}=-\frac{5}{13}

Donc \widehat{EIF}=112.6°.

\Delta est la droite qui passe par R(6;-3;-1) et qui est dirigée par le vecteur \overrightarrow{u} de coordonnées (-3 ; 4 ;1).
Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite d, il faut un vecteur directeur et un point de cette droite.

On remplace x_R par 6, y_R par -3, z_R par -1 ,a par -3, b par 4 et c par 1 dans la représentation paramétrique :

On a déterminé une représentation paramétrique de la droite \Delta.

 

On veut déterminer les coordonnées du point K.

K le point d’intersection du plan (BFG) et de la droite \Delta. 

Ses coordonnées inconnues notées (x,y,z) vérifient les équations du plan (BFG) et de la droite \Delta :

On remplace x en fonction de t dans la première équation que l’on résout.

6-3t=3\\-3t=3-6\\-3t=-3\\t=\frac{-3}{-3}\\t=1

Pour trouver les valeurs de y,z, on remplace t par 1 dans les 2 dernières équations.

y=-3+4\times 1\\y=-3+4\\y=1
z=-1+1\\z=0

Donc le point K a bien pour coordonnées (3;1;0).

 

On sait que B(3; 0; 0) et C(3; 2; 0).

On remarque que les coordonnées de K sont les demi-sommes des coordonnées de B et de C, donc que K est le milieu du segment [BC].

Donc Kse trouve sur l’arête [BC].

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.