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TE. Complexes exercice n°2

1. On considère l’équation (E) z^3=4z^2-8z+8
 ayant pour inconnue le nombre complexe z.
a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z,

z^3-4z^2+8z-8=(z-2)(z^2-2z+4)

correction

b. Résoudre l’équation (E).

correction

c. Écrire les solutions de l’équation (E) sous forme exponentielle.

correction

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).
Soit A,B,C et D les quatre points d’affixes respectives
z_A=1+i\sqrt{3} , z_B=2 , z_C=1-i\sqrt{3} et z_D=1.

Remarque : parmi les affixes ci-dessus, se trouvent les trois solutions trouvées à la question précédente . On peut donc valider la réponse de la question 1.c.
Ces quatre points sont représentés dans la figure ci-dessous.

On peut utiliser la fenêtre active Géogébra si nécessaire.

2. Quelle est la nature du quadrilatère OABC ? Justifier.

correction

3. Soit M le point d’affixez_M=\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}.
a. Démontrer que les points A,M et B sont alignés

correction

b. Démontrer que le triangle DMB est rectangle.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

On veut démontrer que, pour tout nombre complexe z,

z^3-4z^2+8z-8=(z-2)(z^2-2z+4).

Le plus simple est de développer (z-2)(z^2-2z+4) pour arriver à z^3-4z^2+8z-8.

(z-2)(z^2-2z+4)=z\times z^2-z\times 2z+z\times 4-2\times z^2+2\times 2z -2\times 4\\\hspace{3.15cm}= z^3- 2z^2+4z-2z^2+4z -8\\\hspace{3.15cm}= z^3- 4z^2+8z -8

On veut résoudre l’équation (z-2)(z^2-2z+4)=0

On résout l’équation par le calcul en appliquant la règle du produit nul.

Le premier facteur est nul

z-2=0

C’est une équation du premier degré, on remet les membres à leur place.

z=2

Le second facteur est nul

z^2-2z+4=0

C’est une équation du second degré.

J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-2 et c=4.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 1,(-2) ,4.

\Delta=(-2)²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=4-16\\\Delta=-12

comme \Delta<0 , l’équation admet deux solutions complexes conjuguées z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} et z_2=\overline{z_1}=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}

Je calcule z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 1,(-2),(-12).

z_1=\frac{-(-2)-i\sqrt{-(-12)}}{2\times 1}\\z_1=\frac{2-i\sqrt{12}}{2}\\z_1=\frac{2-2\sqrt{3}i}{2}\\z_1=1-\sqrt{3}i

Pour calculer z_2, on utilise z_2=\overline{z_1}.

z_2=\overline{z_1}=1+\sqrt{3}i

L’ensemble solution est  S=\{2;1-\sqrt{3}i;1+\sqrt{3}i\}

On applique la règle du produit nul.

On vérifie les résultats obtenus avec Géogébra.

 

 

 

On écrit les solutions de l’équation (E) sous forme exponentielle :

2 est un nombre réel positif, son module vaut 2 et son argument vaut 0 donc 2=2e^{i0}.

On écrit 1+\sqrt{3}i sous forme exponentielle.

1.On calcule le module de 1+\sqrt{3}i

On remplace a par la partie rélle de 1+\sqrt{3}i qui vaut 1 et b par la partie imaginaire de 1+\sqrt{3}i qui vaut \sqrt{3} dans 

|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

|1+\sqrt{3}i|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}\\\hspace{1.5cm}=\sqrt{1+3}\\\hspace{1.5cm}=\sqrt{4}\\\hspace{1.5cm}=2

On peut vérifier avec la TI 83 Premium CE

2. On cherche un réel \Theta tel que 

cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}

On remplace a par la partie rélle de 1+\sqrt{3}i qui vaut 1 et b par la partie imaginaire de 1+\sqrt{3}i qui vaut \sqrt{3} dans 

cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}.

cos(\Theta)=\frac{1}{2} et sin(\Theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}

Pour déterminer, par le calcul, une valeur de \Theta, il y a plusieurs méthodes :

méthode n°1 : on utilise les touches cos^{-1} et sin^{-1} de la calculatrice.

cos(\Theta)=\frac{1}{2}

\Theta=cos^{-1}(\frac{1}{2})

La  calculatrice donne \Theta=\frac{\pi}{3}

En réalité on obtient :

\Theta=\frac{\pi}{3} ou \Theta=-\frac{\pi}{3}

sin(\Theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}

\Theta=sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})

La  calculatrice donne \Theta=\frac{\pi}{3}

En réalité on obtient :

\Theta=\frac{\pi}{3} ou \Theta=\pi-(\frac{\pi}{3})

La solution commune aux deux équations est : \Theta=\frac{\pi}{3}.

Donc arg(1+\sqrt{3}i)=\frac{\pi}{3}[2\pi].

méthode n°2 : on utilise le cercle trigonométrique ci-dessous 

On place \frac{1}{2} sur l’axe des abscisses, \frac{\sqrt{3}}{2} sur l’axe des ordonnées et on lit l’angle correspondant, ici \frac{\pi}{3}. attention il y a une infinité de mesures : \frac{\pi}{3}+2k\pi.

A l’aide du cercle trigonométrique, on obtient :  arg(1+\sqrt{3}i)=\frac{\pi}{3}[2\pi].

Donc

1+\sqrt{3}i=2e^{\frac{i\pi}{3}}.

On écrit 1-\sqrt{3}i sous forme exponentielle.

Comme 1-\sqrt{3}i est le conjugué de 1+\sqrt{3}i, ils ont même module et des arguments opposés, donc :

1-\sqrt{3}i=2e^{-\frac{i\pi}{3}}.

On veut démontrer que OABC est un losange.

Calculons l’affixe du milieu du segment [OB]

\frac{z_O+z_B}{2}=\frac{0+2}{2}=\frac{2}{2}=1=z_D.

Calculons l’affixe du milieu du segment [AC]

\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}+\frac{1-i\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{2}=1=z_D.

Donc les diagonales [OB] et [AC] ont même milieu. Ainsi OABC est un parallélogramme.

Calculons la longueur OA

OA=|z_A-z_O|\\\hspace{0.65cm}=|1+i\sqrt{3}-0|\\\hspace{0.65cm}=\sqrt{(1)^2+(\sqrt{3})^2}\\\hspace{0.65cm}=\sqrt{1+3}\\\hspace{0.65cm}=\sqrt{4}\\\hspace{0.65cm}=2

Calculons la longueur BA

BA=|z_A-z_B|\\\hspace{0.65cm}=|1+i\sqrt{3}-2|\\\hspace{0.65cm}=|-1+i\sqrt{3}|\\\hspace{0.65cm}=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}\\\hspace{0.65cm}=\sqrt{1+3}\\\hspace{0.65cm}=\sqrt{4}\\\hspace{0.65cm}=2

Donc les côtés consécutifs [OA] et [AB] ont même longueur.

Donc OABC est un losange.

z_A=1+i\sqrt{3} , z_M=\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4} et z_B=2.

Pour montrer que A,M et B sont alignés on va montrer que arg(\frac{z_M-z_B}{z_A-z_B})=0.

Remarque : on a doublé la lettre B car son affixe est la plus simple.

On calcule \frac{z_M-z_B}{z_A-z_B} . pour cela  on remplace z_M par \frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4} , z_B par 2 et z_A par 1+i\sqrt{3}.

\frac{z_M-z_B}{z_A-z_B}=\frac{\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-2}{(1+i\sqrt{3})-2}\\\hspace{0.95cm}=\frac{\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{8}{4}}{-1+i\sqrt{3}}\\\hspace{0.95cm}=\frac{-\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}}{-1+i\sqrt{3}}

On met \frac{1}{4} en facteur au numérateur.

\hspace{0.95cm}=\frac{\frac{1}{4}(-1+i\sqrt{3})}{-1+i\sqrt{3}}

On simplifie.

\hspace{0.95cm}=\frac{1}{4}

Les arguments de \frac{z_M-z_B}{z_A-z_B} et de \frac{1}{4} sont égaux, donc :

(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BM})=0.

Ainsi A,M et B sont alignés.

z_D=1 , z_M=\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4} et z_B=2.

Pour montrer que DMB est rectangle en M  on va montrer que arg(\frac{z_M-z_B}{z_M-z_D})=\frac{\pi}{2}.

On calcule \frac{z_M-z_B}{z_M-z_D} . pour cela  on remplace z_M par \frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4} , z_B par 2 et z_D par 1.

\frac{z_M-z_B}{z_M-z_D}=\frac{\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-2}{\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-1}\\\hspace{0.95cm}=\frac{\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{8}{4}}{\frac{7}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{4}{4}}\\\hspace{0.95cm}=\frac{-\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}}

On multiplie en haut et en bas par le conjugué du dénominateur \frac{3}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}.

\hspace{0.95cm}=\frac{-\frac{1}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}}\times\frac{\frac{3}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}}

\hspace{0.95cm}=\frac{-\frac{1}{4}\times \frac{3}{4}-\frac{1}{4}\times (-i\frac{\sqrt{3}}{4})+i\frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{3}{4}+ i\frac{\sqrt{3}}{4}\times (-i\frac{\sqrt{3}}{4})}{(\frac{3}{4})^2+(\frac{\sqrt{3}}{4})^2}

\hspace{0.95cm}=\frac{-\frac{3}{16}+\frac{i\sqrt{3}}{16}+i\frac{3\sqrt{3}}{16}+ \frac{3}{16}}{\frac{9}{16}+\frac{3}{16}}

\hspace{0.95cm}=\frac{4i\frac{\sqrt{3}}{16}}{\frac{12}{16}}

\hspace{0.95cm}=4i\frac{\sqrt{3}}{16}\times{\frac{16}{12}}

\hspace{0.95cm}=i\frac{\sqrt{3}}{3}

Les arguments de \frac{z_M-z_B}{z_M-z_D} et de i\frac{\sqrt{3}}{3} sont égaux, donc :

(\overrightarrow{MD},\overrightarrow{MB})=\frac{\pi}{2}.

Ainsi le triangle DMB est rectangle en M.

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.