Catégorie : Arithmétique
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TE. Théorème de Gauss.
Théorème de Gauss Soient , et trois entiers relatifs non nuls. Si divise et et si et sont premiers entre eux alors divise Exemple n°1 On veut résoudre l’équation suivante . Comme , les nombres et sont premiers entre eux. Et comme divise D’après le théorème de Gauss, divise .…
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TE. Equations diophantiennes
Sommaire 1. Propriété 1.1. Exemples 1.2. Exercice n°1 1.3. Exercice n°2 1.4. Exemple n°1 : résoudre une équation diophantienne 1.5. Exemple n°2 : résoudre une équation diophantienne 1.6. Exercice n°3 1.7. Exercice n°4 1.8. Exercice n°5 1.9. Exercice n°6 Propriété Soient , et trois entiers relatifs non nuls. L’équation diophantienne…
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TE. Nombres premiers entre eux.Théorème de Bezout.
Sommaire 1. Nombres premiers entre eux 1.1. Définition 1.2. Exemple 1.3. Propriété 1.4. Exemple 1.5. Exercice n°1 1.6. Exercice n°2 1.7. Exercice n°3 2. Identité de Bezout 2.1. Identité de Bezout 2.2. Exemple 2.3. Exercice n°4 2.4. Exercice n°5 2.5. Exercice n°6 3. Théorème de Bezout 3.1. Théorème de Bezout…
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TE. PGCD et algorithme d’Euclide
PGCD de deux entiers naturels Définition Soient et deux entiers naturels non tous les deux nuls. On note l’ensemble des diviseurs communs de et . L’ensemble contient un plus grand élément, noté . C’est le plus grand diviseur commun de de et . Exemples donc . donc . Déterminer le…
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TE. Arithmétique : divisions et congruences.
Congruences Définition On dit que et sont congrus modulo signifie que et ont le même reste dans la division euclidienne par . On note ou Exemple n°1 : et sont congrus modulo car et ont le même reste : dans la division euclidienne par . On note Illustration avec la…
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TE. Arithmétique : Division euclidienne
Théorème Soient un entier relatif et un entier naturel non nul. Il existe un couple d’entiers relatifs tels que et . est le quotient et est le reste de la division de par . Exemples Déterminer le reste et le quotient d’une division euclidienne avec Edupython Ecrire le programme suivant,…
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TE. Divisibilité dans Z.
Multiples et diviseurs d’un nombre entier relatif Définition et sont des nombres entiers relatifs. On dit que divise s’il existe un nombre entier relatif tel que Exemples divise car divise car Exercice n°1 Déterminer l’ensemble des diviseurs de dans . Propriétés de la divisibilité dans Z Définition , et sont…
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TE. Arithmétique : Petit théorème de Fermat
Petit théorème de Fermat désigne un nombre premier et un nombre entier naturel non divisible par . Alors est divisible par , c’est-à-dire que . Exemple n°1 On considère l’équation (E) 1.Justifier que est premier et n’est pas divisible par . On applique le petit théorème de Fermat. On remplace…
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TE. Arithmétique : nombres premiers
Nombres premiers Nombres premiers Définition On dit qu’un nombre entier naturel est premier s’il admet exactement deux diviseurs et lui-même Remarques n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs. n’est pas premier car il n’admet qu’un seul diviseur. est le seul nombre pair premier car les autres nombres…
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TE. Arithmétique : décomposition en produit de facteurs premiers.
Sommaire 1. Existence et unicité d’une décomposition 1.1. Propriété 1.2. Méthode n°1 : pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers par le calcul. 1.3. Méthode n°2 : pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers avec Géogébra. 1.4. Propriété 1.5. Exercice n°1 1.6. Exercice n°2 1.7. Exercice…