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Problème n°9:

ABCD est un carré de côté 1.

ADE et CDF sont deux triangles équilatéraux.

On veut montrer que les points B, E, F sont alignés.

METHODE 1 : Montrons que les points B, E, F sont alignés en montrant que les vecteurs

\overrightarrow{BE} et \overrightarrow{BF} sont colinéaires en montrant que le déterminant des vecteurs \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{BF} est nul.

On choisit le repère orthonormé A;\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB}

1. Lire graphiquement les coordonnées des points \textit{\textbf{A;B;C;D }}.

correction

2. L’objectif de cette question est de déterminer, par le calcul, les coordonnées du  point \textit{\textbf{E}} .

a. On note I le milieu du segment [AD] . Justifier que les droites (EI) et (AD) sont orthogonales. En déduire la nature du triangle AIE .

correction

b. Dans le  triangle AIE rectangle en I , justifier que l’angle \widehat{IAE} mesure 60°. A l’aide d’une relation trigonométrique dans le triangle AIE rectangle en I , calculer la distance EI .

correction

c. Déduire des questions précédentes les coordonnées du point E .

correction

3. L’objectif de cette question est de déterminer, par le calcul, les coordonnées du  point \textit{\textbf{F}} .

a. On note J le milieu du segment [CD] . Justifier que les droites (FJ) et (CD) sont orthogonales. En déduire la nature du triangle FJD .

correction

b. Dans le  triangle FJD rectangle en J , justifier que l’angle \widehat{FDJ} mesure 60°. A l’aide d’une relation trigonométrique dans le triangle FJD rectangle en J , calculer la distance FJ .

correction

c. Déduire des questions précédentes les coordonnées du point F .

correction

4. a. Déterminer par le calcul les coordonnées du vecteur  \overrightarrow{BE} et les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BF} .

correction

b. Calculer le déterminant des vecteurs \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{BF} .  

correction

c. Conclure.  

correction

METHODE 2 : Montrons que les points B, E, F sont alignés en montrant que par exemple les coordonnées du point F vérifient l’équation réduite de la droite (BE) .

Remarque : le choix de la droite (BE) n’est pas le fait du hasard, les coordonnées de ces deux points sont moins compliquées que celles de F.

Nous n’allons pas déterminer à nouveau les coordonnées des points de la figure, nous allons nous contenter de les rappeler.

A(0;0),B(0;1),C(1;1),D(1;0),E(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),F(1+ \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}).

  1. Déterminer, par le calcul, l’équation réduite de la droite (BE).
correction

2. Montrer que les coordonnées du point F vérifient l’équation réduite de la droite (BE) et conclure.

correction

METHODE 3 : Montrons que les points B, E, F sont alignés en montrant que par exemple les coordonnées du point F vérifient l’équation cartésienne de la droite (BE) .

Remarque : le choix de la droite (BE) n’est pas le fait du hasard, les coordonnées de ces deux points sont moins compliquées que celles de F.

Nous n’allons pas déterminer à nouveau les coordonnées des points de la figure, nous allons nous contenter de les rappeler.

A(0;0),B(0;1),C(1;1),D(1;0),E(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),F(1+ \frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}).

Ainsi que les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BE} (\frac{1}{2};1+\frac{\sqrt{3}}{2}).

  1. Déterminer, par le calcul, une équation cartésienne de la droite (BE).
correction

2. Montrer que les coordonnées du point F vérifient l’équation cartésienne précédente de la droite (BE) et conclure.

correction

©2020 – Math’O karé SAS

Sur la figure, les axes du repère ont été tracés en rouge. Les graduations ont été indiquées en rouge aussi.

On lit les coordonnées.

Attention : ici, l’axe des abscisses est l’axe horizontal et l’axe des ordonnées est l’axe vertical .

 

Rappel : le premier nombre est l’abscisse et le second est l’ordonnée.

A(0;0), B(0;1), C(1;1) et D(1;0).

 

On place I le milieu du segment [AD].

La droite (EI) passe par le sommet E et le milieu du côté opposé [AD] donc c’est une médiane du triangle AED .

Dans un triangle équilatéral les médianes, les médiatrices, les hauteurs et les bissectrices sont confondues.

Comme le triangle AED est équilatéral, la droite (EI) est aussi une hauteur donc elle est orthogonale au côté [AD].

Donc le triangle AIE est rectangle en  I .

Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.

Donc \widehat{IAE}=60°.

J’utilise :

SOPHY CACHE TOA

SinOPposéHYpothéuse    CosAdjaCentHypothénusE             TanOpposéAdjacent

sin60=  \frac{EI}{AE}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l’angle}{hypothénuse}).

cos60= \frac{AI}{AE}(\frac{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l’angle}{hypothénuse}).

tan60=  \frac{EI}{AI}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l’angle}{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l’angle}).

Dans l’énoncé , on sait que AE=1 et \widehat{A}=60° . On cherche EI. On utilise donc :

sin 60=\frac{EI}{AE}\\\frac{EI}{1}=sin 60\\EI=\frac{\sqrt{3}}{2}

Remarque : le résultat obtenu est celui donné par la TI-83 Premium CE qui donne la valeur exacte. Avec d’autres calculatrices, on peut obtenir des valeurs approchées.

Pour déterminer les coordonnées du point E, on le projette orthogonalement sur les axes du repère et on obtient x_E et y_E comme sur la figure ci-dessous.

x_E=AI=\frac{AD}{2}=\frac{1}{2}.

y_E=EI=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Donc E(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}).

On place J le milieu du segment [DC].

La droite (FJ) passe par le sommet F et le milieu du côté opposé [CD] donc c’est une médiane du triangle CDF   .

Dans un triangle équilatéral les médianes, les médiatrices, les hauteurs et les bissectrices sont confondues.

Comme le triangle CDF est équilatéral, la droite (FJ) est aussi une hauteur donc elle est orthogonale au côté [CD].

Donc le triangle FJD est rectangle en  J .

Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.

Donc \widehat{FDJ}=60°.

J’utilise :

SOPHY CACHE TOA

SinOPposéHYpothéuse    CosAdjaCentHypothénusE             TanOpposéAdjacent

sin60=  \frac{FJ}{FD}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l’angle}{hypothénuse}).

cos60= \frac{DJ}{DF}(\frac{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l’angle}{hypothénuse}).

tan60=  \frac{FJ}{DJ}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l’angle}{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l’angle}).

Dans l’énoncé , on sait que FD=1 et \widehat{D}=60° . On cherche FJ. On utilise donc :

sin 60=\frac{FJ}{FD}\\\frac{FJ}{1}=sin 60\\FJ=\frac{\sqrt{3}}{2}

Remarque : le résultat obtenu est celui donné par la TI-83 Premium CE qui donne la valeur exacte. Avec d’autres calculatrices, on peut obtenir des valeurs approchées.

Pour déterminer les coordonnées du point F, on le projette orthogonalement sur les axes du repère et on obtient x_F et y_F comme sur la figure ci-dessous.

x_F=1+JF=1+\frac{\sqrt{3}}{2}.

y_F=\frac{1}{2}

Donc E(1+\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}).

 

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BE}.

Je repère les coordonnées des points B et E.

\hspace{2.1cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}\hspace{2cm}x_{E}\hspace{0.2cm}y_{E}

\hspace{1.8cm}B(0;1)\hspace{2cm}E(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})

J’écris la formule : \overrightarrow{BE}(x_{E}-x_{B};y_{E}-y_{B})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{BE}(\frac{1}{2}-0;\frac{\sqrt{3}}{2}-1)

\overrightarrow{BE}(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}-1)

Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BF}.

Je repère les coordonnées des points B et F.

\hspace{2.1cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}\hspace{2cm}x_{F}\hspace{0.2cm}y_{F}

\hspace{1.8cm}B(0;1)\hspace{2cm}F(1+\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})

J’écris la formule : \overrightarrow{BF}(x_{F}-x_{B};y_{F}-y_{B})

On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

\overrightarrow{BF}(1+\frac{\sqrt{3}}{2}-0;\frac{1}{2}-1)\\\overrightarrow{BF}(1+\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2})

 

 

Pour calculer det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF}), mieux vaut utiliser la disposition pratique ci-dessous :

det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF})=(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)(1+\frac{\sqrt{3}}{2})-{\frac{1}{2}}\times{(-\frac{1}{2})}

En l’écrivant ainsi :

det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF})=(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)-{\frac{1}{2}}\times{(-\frac{1}{2})}

On voit qu’il faut développer le premier produit en utilisant une identité remarquable.

a=\frac{\sqrt{3}}{2} donc a^2=\frac{\sqrt{3}^2}{2^2}=\frac{3}{4} 

b=1 donc b^2=1 

On applique l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 

det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF})=(\frac{3}{4}-1)-{\frac{1}{2}}\times{(-\frac{1}{2})}

Je finis à l’intérieur des parenthèses en mettant au même dénominateur, ici 4.

det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF})=(\frac{3}{4}-{1}\times{\frac{4}{4}})-{\frac{1}{2}}\times{(-\frac{1}{2})}\\det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF})=(\frac{3}{4}-\frac{4}{4})-{\frac{1}{2}}\times{(-\frac{1}{2})}\\det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF})=(-\frac{1}{4})-{\frac{1}{2}}\times{(-\frac{1}{2})}

J’effectue le produit {\frac{1}{2}}\times{(-\frac{1}{2})}

det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF})=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}

J’effectue la somme

det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF})=0

 

Dans la question précédente, on a montré que det(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{BF})=0.

On traduit la phrase précédente dans le langage des vecteurs :

Donc les vecteurs \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{BF} sont colinéaires.

On traduit la phrase précédente dans le langage des points et des droites :

Donc les points B; E; F sont alignés.

Déterminer l’équation réduite, si c’est possible, de la droite passant par les points B(0;1) et E(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points B et E ainsi

\hspace{0.4cm} x_{B} y_{B} \hspace{0.7cm} x_{E} y_{E}

\hspace{0.2cm} B(0;1) \hspace{0.4cm} E(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})

Je compare x_{B} et x_{E}

\hspace{0.4cm} x_{B} \neq x_{E} car \hspace{0.4cm} 0 \neq \frac{1}{2}

Je peux donc calculer le coefficient directeur , en utilisant la formule suivante:

\hspace{2cm} a=\frac{y_{E}-y_{B}} {x_{E}-x_{B}}

On prend soin ensuite de remplacer les lettres par les bons nombres. Si le nombre est négatif, je prends l’habitude de l’écrire entre parenthèses.

a=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-1} {\frac{1}{2}-0} \\a=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-1} {\frac{1}{2}-0}\\a=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-1} {\frac{1}{2}}

Diviser par \frac{1}{2} revient à multiplier par 2.

a={\frac{(\sqrt{3}}{2}-1)} \times{2}

On applique la distributivité de la multiplication de la multiplication par rapport à l’addition.

a=\sqrt{3}-2

Je calcule ensuite l’ordonnée à l’origine, en utilisant la formule suivante:

\hspace{2cm} b= y_{B} – ax_{B}

On prend soin ensuite de remplacer les lettres par les bons nombres. Si le nombre est négatif, je prends l’habitude de l’écrire entre parenthèses.

b=1 – {(\sqrt{3}-2)}\times 0

On effectue le produit en premier.

b=1

Pour finir je remplace a et b par \sqrt{3}-2 et 1 dans l’équation réduite y=ax+b

L’équation de la droite (BE) est y= (\sqrt{3}-2) x+ 1

 

Dans la question précédente, on a déterminé l’équation de la droite (BE) qui est y= (\sqrt{3}-2) x+ 1.

Pour montrer que le point F appartient à la droite  (BE), on va  remplacer  x et y par 1+\frac{\sqrt{3}}{2} et \frac{1}{2} dans l’équation et montrer que l’égalité \frac{1}{2}= (\sqrt{3}-2) (1+\frac{\sqrt{3}}{2})+ 1 est vérifiée.

On va partir du membre de droite de l’égalité et arriver au membre de gauche. On ne peut rien effectuer à l’intérieur des parenthèses, la priorité est donc à la multiplication. On développe alors (\sqrt{3}-2) (1+\frac{\sqrt{3}}{2})

(\sqrt{3}-2) (1+\frac{\sqrt{3}}{2})+ 1=\sqrt{3}+{\sqrt{3}}\times {\frac{\sqrt{3}}{2}}-2-2 \times {\frac{\sqrt{3}}{2}}+1

On effectue les puissances et les produits.

\hspace{3.4cm}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}^2}{2}-2-\sqrt{3}+1

\hspace{3.4cm}=\sqrt{3}+\frac{3}{2}-2-\sqrt{3}+1

On effectue les sommes.

\hspace{3.4cm}=\frac{3}{2}-1

\hspace{3.4cm}=\frac{3}{2}-{1}\times{\frac{2}{2}}

\hspace{3.4cm}=\frac{3}{2}-\frac{2}{2}

\hspace{3.4cm}=\frac{1}{2}

L’égalité est vérifiée.

Donc le point F appartient à la droite  (BE).

 

On sait , d’après le cours , que le  vecteur de coordonnées (-b;a) est un vecteur directeur de la droite D d’équation ax+by+c=0 .

Comme \overrightarrow{BE} a pour coordonnées (\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}-1)

On a, ici :  -b=\frac{1}{2} et  a=\frac{\sqrt{3}}{2}-1.

Donc a=\frac{\sqrt{3}}{2}-1 et  b=-\frac{1}{2}.

Une équation cartésienne est de la forme :

On remplace a et b par \frac{\sqrt{3}}{2}-1 et -\frac{1}{2} dans ax+by+c=0

(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)x-\frac{1}{2}y+c=0

 

Comme B est sur la droite , ses coordonnées (0;1) vérifient l’équation cartésienne au-dessus.

(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)x-\frac{1}{2}y+c=0.

On remplace x par 0 et y par 1 dans \frac{1}{3}x+y+c=0.

{(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)}\times{0}-{\frac{1}{2}}\times 1+c=0.

Effectuons les produits.

-\frac{1}{2}+c=0\\c=\frac{1}{2}

Donc  une équation cartésienne de la droite (BE) est (\frac{\sqrt{3}}{2}-1)x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=0.

 

Dans la question précédente, on a déterminé une équation cartésienne de la droite (BE) qui est :

(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=0

Pour montrer que le point F appartient à la droite  (BE), on va  remplacer  x et y par 1+\frac{\sqrt{3}}{2} et \frac{1}{2} dans l’équation et montrer que l’égalité (\frac{\sqrt{3}}{2}-1)(1+\frac{\sqrt{3}}{2})-{\frac{1}{2}}\times{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}=0 est vérifiée.

On va partir du membre de gauche de l’égalité et arriver au membre de droite. On ne peut rien effectuer à l’intérieur des parenthèses, la priorité est donc à la multiplication. On développe alors (\frac{\sqrt{3}}{2}-1)(1+\frac{\sqrt{3}}{2}) en utilisant l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2.

(\frac{\sqrt{3}}{2}-1)(1+\frac{\sqrt{3}}{2})-{\frac{1}{2}}\times{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-1-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}

On effectue la puissance .

\hspace{4.7cm}=\frac{\sqrt{3}^2}{2^2}-1-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\\\hspace{4.7cm}=\frac{3}{4}-1-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}

On effectue la somme.

\hspace{4.7cm}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}-1+\frac{1}{2}\\\hspace{4.7cm}=\frac{2}{4}-1+\frac{1}{2}\\\hspace{4.7cm}=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}\\\hspace{4.7cm}=0

L’égalité est vérifiée.

Donc le point F appartient à la droite  (BE).

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.