logo

Fonctions : déterminer, par le calcul, les antécédents éventuels d’un nombre.

Sommaire

Conjecturer graphiquement le ou les antécédent(s) éventuel(s) d’un nombre à l’aide de Géogébra.

Dans les exercices de cet article, vous avez la possibilité avant de vous lancer dans les calculs de faire une conjecture graphique à l’aide de la page Géogébra ci-dessous.

Vous cherchez par exemple les antécédents de 3 dans l’exercice n°1. Saisir  f(x)=-2x+3 dans la colonne de gauche , valider puis saisir  y=3 dans la colonne de gauche en dessous. La courbe et la droite s’affichent dans le repère.

Il ne reste plus qu’à lire le ou les abscisse(s) des points d’intersections.

Remarque : on peut cliquer sur le deuxième onglet en haut en partant de la gauche et on sélectionne Intersection dans le menu déroulant. Ensuite dans le repère, on clique sur la droite et la courbe de la fonction  f, les points d’intersections éventuels apparaissent. Il ne reste plus qu’à lire l’abscisse ou les abscisses de ces  points.

Fonctions affines

Méthode

Déterminer le ou les antécédent(s) éventuel(s) d’un nombre par une fonction affine revient à résoudre une équation du premier degré.             

Exercice 1  

 soit f(x)=-2x+3 , pour x réel.

Déterminer le(s) antécédent(s) de 3, de -7 et de \frac{1}{2} si c’est possible.

correction : antécédents de 3
correction : antécédents de -7
correction : antécédents de \frac{1}{2}

Exercice 2  

 soit f(x)=\frac{1}{2}x-2 , pour x réel.

Déterminer le(s) antécédent(s) de 1, de -2 et de \frac{1}{3} si c’est possible.

correction : antécédents de 1
correction : antécédents de -2
correction : antécédents de \frac{1}{3}

 Fonctions du second degré

Méthode

 Déterminer le ou les antécédent(s) éventuel(s) d’un nombre par une fonction du second degré revient à résoudre une équation du second degré.

Il s’agit, la plupart du temps de faire apparaitre 0 à droite du signe =, de transformer le membre de gauche en produit de deux ou trois facteurs où il n’y a plus de x² et enfin d’appliquer la règle du produit nul.

              Remarque : il arrive que le membre de gauche soit strictement positif, dans ce cas, il ne peut évidemment pas s’annuler et l’équation n’a pas de solution.

Exercice 3  

 soit f(x)=x^{2}-9 , pour x réel.

Déterminer le(s) antécédent(s) de 0, de -9 ,de-5  et de 1 si c’est possible.

correction : antécédents de 0
correction : antécédents de -9
correction : antécédents de -5
correction : antécédents de 1

Exercice 4 

 soit f(x)=(x-3)^{2}-4 , pour x réel.

Déterminer le(s) antécédent(s) de 0, de -4   et de 12 si c’est possible.

correction : antécédents de 0
correction : antécédents de -4
correction : antécédents de 12

Fonctions homographiques

Méthode

Déterminer le ou les antécédent(s) éventuel(s) d’un nombre par une fonction homographique revient à faire le produit en croix de deux fractions et résoudre une équation du premier degré.

Exercice 5  

 soit f(x)=\frac{2}{x+1} , pour x réel et x\ne-1  .

Déterminer le(s) antécédent(s) de -2, de 0 et de 1 si c’est possible.

correction : antécédents de -2
correction : antécédents de 0
correction : antécédents de 1

Exercice 6  

 soit f(x)=\frac{2x-1}{x+2} , pour x réel et x\ne-2  .

Déterminer le(s) antécédent(s) de -1, de 0 et de 2 si c’est possible.

correction : antécédents de -1
correction : antécédents de 0
correction : antécédents de 2

Valider vos réponses à l’aide de l’application calcul formel de Géogébra.

Dans les exercices de cet article, vous avez la possibilité de vérifier vos calculs  l’aide de la page Géogébra ci-dessous.

Vous cherchez par exemple les antécédents de 3 dans l’exercice n°1. Saisir  -2x+3=3 sur la ligne n°1 et cliquer sur le 7ième onglet en haut à partir de la gauche. S’affiche alors Résoudre {x=0}.

©2020 – Math’O karé SAS

On veut déterminer les antécédents de 3 par la fonction f définie par f(x)=-2x+3.

On résout l’équation : 

\hspace{1.2 cm}f(x)=3\\\hspace{0.6 cm}-2x+3=3

 Dans le membre de gauche 3 n’est pas à sa place, j’enlève 3 de chaque côté.

\hspace{0.2 cm}-2x+3-3=3-3\\\hspace{1.5 cm}-2x=0

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par -2 de chaque côté.

\hspace{1.2 cm}x=-\frac{0}{2}\\\hspace{1.2 cm}x=0

L’antécédent de 3 est 0.

On veut déterminer les antécédents de -7 par la fonction f définie par f(x)=-2x+3.

On résout l’équation : 

\hspace{1.2 cm}f(x)=-7\\\hspace{0.6 cm}-2x+3=-7

 Dans le membre de gauche 3 n’est pas à sa place, j’enlève 3 de chaque côté.

\hspace{0.2 cm}-2x+3-3=-7-3\\\hspace{1.5 cm}-2x=-10

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par -2 de chaque côté.

\hspace{1.2 cm}x=\frac{-10}{-2}\\\hspace{1.2 cm}x=5

L’antécédent de -7 est 5.

On veut déterminer les antécédents de \frac{1}{2} par la fonction f définie par f(x)=-2x+3.

On résout l’équation : 

\hspace{1.2 cm}f(x)=\frac{1}{2}\\\hspace{0.6 cm}-2x+3=\frac{1}{2}

 Dans le membre de gauche 3 n’est pas à sa place, j’enlève 3 de chaque côté.

\hspace{0.2 cm}-2x+3-3=\frac{1}{2}-3\\\hspace{1.5 cm}-2x=\frac{1}{2}-3

Pour calculer \frac{1}{2}-3, on doit mettre au même dénominateur ici, 2.

\hspace{1.5 cm}-2x=\frac{1}{2}-{3}\times{\frac{2}{2}}\\\hspace{1.5 cm}-2x=\frac{1}{2}-\frac{6}{2}\\\hspace{1.5 cm}-2x=-\frac{5}{2}

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par -2 de chaque côté.

\hspace{1.2 cm}x=\frac{-\frac{5}{2}}{-2}\\\hspace{1.2 cm}x=\frac{\frac{5}{2}}{2}

On applique la règle suivante \frac{\frac{a}{b}}{c}={\frac{a}{b}}\times{\frac{1}{c}}

\hspace{1.2 cm}x={\frac{5}{2}}\times{\frac{1}{2}}

\hspace{1.2 cm}x=\frac{5}{4}

L’antécédent de \frac{1}{2} est \frac{5}{4}.

On veut déterminer les antécédents de 1 par la fonction f définie par f(x)=\frac{1}{2}x-2.

On résout l’équation : 

\hspace{1.2 cm}f(x)=1\\\hspace{0.6 cm}\frac{1}{2}x-2=1

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, j’ajoute 2 de chaque côté.

\hspace{0.6 cm}\frac{1}{2}x-2+2=1+2\\\hspace{0.6 cm}\frac{1}{2}x=3

 Dans le membre de gauche \frac{1}{2} n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par \frac{1}{2} de chaque côté.

\hspace{1.2 cm}x=\frac{3}{\frac{1}{2}}

Diviser par \frac{1}{2} revient à multiplier par 2

\hspace{1.2 cm}x={3}\times{2}\\\hspace{1.2 cm}x=6

L’antécédent de 1 est 6.

On veut déterminer les antécédents de -2 par la fonction f définie par f(x)=\frac{1}{2}x-2.

On résout l’équation : 

\hspace{1.2 cm}f(x)=-2\\\hspace{0.9 cm}\frac{1}{2}x-2=-2

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, j’ajoute 2 de chaque côté.

\hspace{0.6 cm}\frac{1}{2}x-2+2=-2+2\\\hspace{1.8cm}\frac{1}{2}x=0

 Dans le membre de gauche \frac{1}{2} n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par \frac{1}{2} de chaque côté.

\hspace{1.2 cm}x=\frac{0}{\frac{1}{2}}\\\hspace{1.2 cm}x=0

L’antécédent de -2 est 0

On veut déterminer les antécédents de \frac{1}{3} par la fonction f définie par f(x)=\frac{1}{2}x-2.

On résout l’équation : 

\hspace{1.2 cm}f(x)=\frac{1}{3}\\\hspace{0.8 cm}\frac{1}{2}x-2=\frac{1}{3}

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, j’ajoute 2 de chaque côté.

\hspace{0.2 cm}\frac{1}{2}x-2+2=\frac{1}{3}+2\\\hspace{1.5 cm}\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}+2

Pour calculer \frac{1}{3}+2, on doit mettre au même dénominateur ici, 3.

\hspace{1.5 cm}\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}+{2}\times{\frac{3}{3}}\\\hspace{1.5 cm}\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}+\frac{6}{3}\\\hspace{1.5 cm}\frac{1}{2}x=\frac{7}{3}

 Dans le membre de gauche \frac{1}{2} n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit.Je divise par \frac{1}{2} de chaque côté.

\hspace{1.2 cm}x=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{2}}

Diviser par \frac{1}{2} revient à multiplier par 2

\hspace{1.2 cm}x={\frac{7}{3}}\times{2}

\hspace{1.2 cm}x=\frac{14}{3}

L’antécédent de \frac{1}{3} est \frac{14}{3}.

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de 0 par f revient à résoudre l’équation  x^{2}-9=0 .Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=0

x^{2}-9=0

1.Je ne fais pas tout passer à gauche, car  zéro est déjà à droite.

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser x^{2}-9

a^{2}=x^{2} \hspace{2cm}a=x

b^{2}=9\hspace{2.2cm}b=3

Je remplace a et b par x et 3 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

x^{2}-9=(x-3)(x+3)

(x-3)((x+3)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (x-3) ;  (x+3). L’un ou l’autre est nul.

(x-3)=0 ou (x+3)=0\\x=3 ou x=-3

Les antécédents de 0 sont -3 et 3 

 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de -9 par f revient à résoudre l’équation  x^{2}-9=-9 .Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=0

x^{2}-9=-9

Je  fais  tout passer à gauche,  zéro apparaît à droite.

Dans le membre de droite -9 n’est pas à sa place, j’ajoute 9 de chaque côté.

x^{2}-9+9=0\\x^{2}=0

Le seul nombre dont le carré est égal à 0 est 0.

x=0

L’ antécédent de -9 est 0 .

 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de -5 par f revient à résoudre l’équation  x^{2}-9=-5 .Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=-5

x^{2}-9=-5

1.Je  fais  tout passer à gauche,   zéro apparaît à droite.

-5 n’est pas à sa place, j’ajoute 5 de chaque côté.

x^{2}-9+5=0\\x^{2}-4=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser x^{2}-4

a^{2}=x^{2} \hspace{2cm}a=x

b^{2}=4\hspace{2.2cm}b=2

Je remplace a et b par x et 2 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

x^{2}-4=(x-2)(x+2)

(x-2)(x+2)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (x-2) ;  (x+2). L’un ou l’autre est nul.

(x-2)=0 ou (x+2)=0\\x=2 ou x=-2

Les antécédents de -5 sont -2 et 2 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de 1 par f revient à résoudre l’équation  x^{2}-9=1 .Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=1

x^{2}-9=1

1.Je  fais  tout passer à gauche,   zéro apparaît à droite.

1 n’est pas à sa place, j’enlève  1 de chaque côté.

x^{2}-9-1=0\\x^{2}-10=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser x^{2}-10

a^{2}=x^{2} \hspace{2cm}a=x

b^{2}=10\hspace{2.2cm}b=\sqrt{10}

Je remplace a et b par x et \sqrt{10} dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

x^{2}-10=(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})

(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (x-\sqrt{10}) ;  (x+\sqrt{10}). L’un ou l’autre est nul.

(x-\sqrt{10})=0 ou (x+\sqrt{10})=0\\x=\sqrt{10} ou x=-\sqrt{10}

Les antécédents de -5 sont -\sqrt{10} et \sqrt{10} 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de 0 par f revient à résoudre l’équation  (x-3)^{2}-4=0 .Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=0

(x-3)^{2}-4=0

1.Je  ne fais  rien passer à gauche,   zéro est déjà à droite.

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser x^{2}-4

a^{2}=(x-3)^{2} \hspace{2cm}a=x-3

b^{2}=4\hspace{2.2cm}b=2

Je remplace a et b par x-3 et 2 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(x-3)^{2}-4=((x-3)-2)((x+3)+2)

((x-3)-2)((x-3)+2)=0​

(x-5)(x-1)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (x-5) ;  (x-1). L’un ou l’autre est nul.

(x-5)=0 ou (x-1)=0\\x=5 ou x=1

Les antécédents de 0 sont 1 et 5 

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de -4 par f revient à résoudre l’équation  (x-3)^{2}-4=-4 .Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=-4

(x-3)^{2}-4=-4

1.Je   fais  tout passer à gauche,   zéro apparaît à droite.

-4 n’est pas à sa place à gauche, j’ajoute 4 de chaque côté.

(x-3)^{2}-4+4=0\\(x-3)^{2}=0

Le seul nombre dont le carré est égal à 0 est 0

x-3=0

x=3

L’antécédent de -4 est 3.

Déterminer , par le calcul, les antécédents éventuels de 12 par f revient à résoudre l’équation  (x-3)^{2}-4=12 .Elle est du second degré car le plus grand exposant de  x est 2.

f(x)=12

(x-3)^{2}-4=12

1.Je   fais  tout passer à gauche,   zéro apparaît à droite.

12 n’est pas à sa place, j’enlève 12 de chaque côté.

(x-3)^{2}-4-12=0\\(x-3)^{2}-16=0

2. Je factorise le membre de gauche.

a. Il n’y a pas de facteur commun.

b. J’utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pour factoriser x^{2}-4

a^{2}=(x-3)^{2} \hspace{2cm}a=x-3

b^{2}=16\hspace{2.2cm}b=4

Je remplace a et b par x-3 et 4 dans a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

(x-3)^{2}-16=((x-3)-4)((x+3)+4)

((x-3)-4)((x-3)+4)=0​

(x-7)(x+1)=0

3. J’applique la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si l’un de ses facteurs est nul.

Ici il y a deux facteurs (x-7) ;  (x+1). L’un ou l’autre est nul.

(x-7)=0 ou (x+1)=0\\x=7 ou x=-1

Les antécédents de 12 sont -1 et 7 

On veut déterminer les antécédents de -2 par la fonction f définie par f(x)=\frac{2}{x+1}.

On résout l’équation : 

f(x)=-2\\\frac{2}{x+1}=-2

On fait le produit en croix

\frac{2}{x+1}=\frac{-2}{1}

{(x+1)}\times{(-2)}={2}\times{1}\\-2x-2=2

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place, j’ajoute 2 de chaque côté.

-2x=2+2\\-2x=4

 Dans le membre de gauche -2 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit,  je divise par  -2 de chaque côté.

x=-\frac{4}{2}\\x=-2

L’antécédent de -2 est -2.

On veut déterminer les antécédents de 0 par la fonction f définie par f(x)=\frac{2}{x+1}.

On résout l’équation : 

f(x)=0\\\frac{2}{x+1}=0

Une fraction est nulle si le numérateur est nul. Dans la fraction \frac{2}{x+1}, le dénominateur 2 est différent de 0.

0 n’a pas d’antécédent.

On veut déterminer les antécédents de 1 par la fonction f définie par f(x)=\frac{2}{x+1}.

On résout l’équation : 

f(x)=1\\\frac{2}{x+1}=1

On fait le produit en croix

\frac{2}{x+1}=\frac{1}{1}

{(x+1)}\times{1}={2}\times{1}\\x+1=2

 Dans le membre de gauche 1 n’est pas à sa place, j’enlève 1 de chaque côté.

x=2-1\\x=1

L’antécédent de 1 est 1.

On veut déterminer les antécédents de -1 par la fonction f définie par f(x)=\frac{2x-1}{x+2}.

On résout l’équation : 

f(x)=-2\\\frac{2x-1}{x+2}=-1

On fait le produit en croix

\frac{2x-1}{x+2}=\frac{-1}{1}

{(2x-1)}\times{(1)}={(x+2)}\times{(-1)}\\2x-1=-x-2

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

2x=-x-2+1\\2x=-x-1

 Dans le membre de droite  -x n’est pas à sa place. J’ajoute  x de chaque côté.

2x+x=-1\\3x=-1

 Dans le membre de gauche 3 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit,  je divise par  3 de chaque côté.

x=-\frac{1}{3}

L’antécédent de -1 est -\frac{1}{3}.

On veut déterminer les antécédents de 0 par la fonction f définie par f(x)=\frac{2x-1}{x+2}.

On résout l’équation : 

f(x)=0\\\frac{2x-1}{x+2}=0.

Une fraction est égale à 0 si le numérateur est égal à 0.

2x-1=0.

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

2x=1

  Dans le membre de gauche 2 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit,  je divise par  2 de chaque côté.

x=\frac{1}{2}

L’antécédent de 0 est \frac{1}{2}.

On veut déterminer les antécédents de 2 par la fonction f définie par f(x)=\frac{2x-1}{x+2}.

On résout l’équation : 

f(x)=2\\\frac{2x-1}{x+2}=2

On fait le produit en croix

\frac{2x-1}{x+2}=\frac{2}{1}

{(2x-1)}\times{1}={(x+2)}\times{2}\\2x-1=2x+4

 Dans le membre de gauche -1 n’est pas à sa place, j’ajoute 1 de chaque côté.

2x=2x+4+1\\2x=2x+5

 Dans le membre de droite  2x n’est pas à sa place. J’enlève  2x de chaque côté.

0=5

C’est impossible.

 2 n’a pas d’antécédent.

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.