Sommaire
Rappels de première
Dérivées des fonctions de référence
On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions de référence sur leurs ensembles de définition
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Opérations et dérivation
On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions sur leurs ensembles de définition
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Exercice n°1 :
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= x^3-2x^2+5 pour x\in \mathbf{R}
2. f(x)= 5x^2-2x+\sqrt{5} pour x\in \mathbf{R}
3. f(x)= \frac{3}{x-1} pour x\in \mathbf{R} privé de 1
4. f(x)= 8\sqrt{x} pour x\in [0;+\infty[
5. f(x)= x^2\sqrt{x} pour x\in [0;+\infty[
6. f(x)= x^3e^x pour x\in \mathbf{R}
7. f(x)= \frac{2x-1}{x-2} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
8. f(x)= \frac{3x-4}{x^2-1} pour x\in \mathbf{R} privé de -1 et de 1
Propriété n°1 :
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
La fonction u^2:x\rightarrow(u(x))^2 est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x)
Exercice n°2 :
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= (2x-1)^2 pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= (e^x+x)^2 pour x\in \mathbf{R}
Propriété n°2 :
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
La fonction e^u:x\rightarrow e^{u(x)} est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}}
Exercice n°3 :
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= e^{x^2-6} pour x\in \mathbf{R}
2. f(x)= e^{\sqrt{x}} pour x\in [0;+\infty[
Propriété n°3 :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
Soient a et b deux réels.
Soit J l’intervalle contenant les réels x tels que ax+b appartienne à I
Soit g définie sur J par g(x)=f(ax+b) .
La fonction g est dérivable sur J et pour tout réel x de J , g'(x)= af'(ax+b)
Exercice n°4 :
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= \sqrt{6x-12} pour x\in [2;+\infty[
2. f(x)= (2x+5)^7 pour x\in \mathbf{R}
Propriété n°4 :
Cette propriété ne figure pas au programme mais beaucoup de manuels scolaires l’utilisent dans les exercices.
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que u(x)>0 .
La fonction \sqrt{u}:x\rightarrow\sqrt{u(x)} est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (\sqrt{u(x)})'=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}
Pour valider vos calculs de dérivées précédents avec l’application Calcul Formel de Géogébra
saisir, par exemple f(x)= x^3-2x^2+5 sur la ligne 1 puis cliquer sur le neuvième onglet
f’. Apparaît alors à l’écran Dérivée: f'(x)= 3x^2-4x