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TC.Fonction dérivée.Exercices.

Sommaire

Exercice n°1 :

Déterminer f'(x) dans chaque cas.

  1. f(x)= e^{x^3}-e^x+5 pour x\in \mathbf{R}
correction

2. f(x)= e^2+\sqrt{x} pour x\in [0;+\infty

correction

3. f(x)= \frac{3}{e^x+1} pour x\in \mathbf{R}

correction

4. f(x)= 8(2x+5)^2 pour x\in [0;+\infty[ 

correction

5. f(x)= x^2e^{3x} pour x\in [0;+\infty[ 

correction

6. f(x)= x^2\sqrt{-4x+12} pour x\in ]-\infty;3]

correction

7. f(x)= \frac{e^x}{x} pour x\in \mathbf{R} privé de 0

correction

8. f(x)= \frac{4x^2-8x-3}{2x-1} pour x\in \mathbf{R} privé de \frac{1}{2} .

correction

Exercice n°2 :

Déterminer f'(x) dans chaque cas.

  1. f(x)= (2\sqrt{x}+6x+1)^2 pour x\in [0;+\infty[
correction

2.f(x)= (\frac{1}{x}+x)^2 pour x\in \mathbf{R} privé de 0

correction

Exercice n°3 :

Déterminer f'(x) dans chaque cas.

  1. f(x)= e^{3x^2-6x+1} pour x\in \mathbf{R}
correction

2. f(x)= e^{\frac{3}{x}} pour x\in \mathbf{R}

correction

Exercice n°4 :

Déterminer f'(x) dans chaque cas.

  1. f(x)= \sqrt{-2x+8} pour x\in ]-\infty;4]
correction

2. f(x)= (16x+5)^6 pour x\in \mathbf{R}

correction

Pour valider vos calculs de dérivées précédents avec l’application Calcul Formel de Géogébra

saisir, par exemple f(x)= x^3-2x^2+5 sur la ligne 1 puis cliquer sur le neuvième onglet f’. Apparaît alors à l’écran Dérivée: f'(x)= 3x^2-4x 

©2020 – Math’O karé SAS

f(x)= e^{x^3}-e^x+5 pour x\in \mathbf{R}

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois termes :

e^{x^3} , -e^{x} et 5.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

Il faut donc calculer les dérivées des trois termes e^{x^3} , -e^{x} et 5 en utilisant la propriété 2 du cours et le tableau n°2 ci-dessous

Je calcule la dérivée de e^{x^3} 

J’utilise la propriété 2 du cours : (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}} avec u(x)=x^3 donc u'(x)=3x^{3-1}=3x^2.

Je remplace u(x) par x^3 et u'(x) par 3x^2 dans la formule u'(x) \times {e^{u(x)}}

(e^{x^3})’=3x^2e^{x^3}

Je calcule la dérivée de e^x .

C’est une fonction de référence (voir ligne 7 du tableau ci-dessous). 

(e^x)’=e^x.

Je calcule la dérivée de 5 .

C’est une fonction de référence (voir ligne 1 du tableau ci-dessous).

(5)’=0

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (e^{x^3}-e^x+5)’\\f'(x)= (e^{x^3})’-(e^x)’+(5)’\\f'(x)= (x^3)’e^{x^3}-e^x+0\\f'(x)= 3x^2e^{x^3}-e^x

 

 

f(x)= e^2+\sqrt{x} pour x\in [0;+\infty[

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux termes :

e^2  et \sqrt{x}.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

Il faut donc calculer les dérivées des deux termes e^2  et \sqrt{x}. en utilisant  le tableau n°2 ci-dessous

Je calcule la dérivée de e^2 

C’est une fonction de référence ( voir ligne 1 du tableau ci-dessous).

(e^2)’=0 

Je calcule la dérivée de \sqrt{x} .

C’est une fonction de référence (voir ligne 6 du tableau ci-dessous). 

(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (e^2+\sqrt{x})’\\f'(x)= (e^2)’+(\sqrt{x})’\\f'(x)= 0+\frac{1}{2\sqrt{x}}\\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

 

 

f(x)= \frac{3}{e^x+1} pour x\in \mathbf{R}

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit d’un réel par une fonction avec k=3 et u(x)=\frac{1}{e^x+1}.

On va utiliser la ligne n°2 du tableau n°1 ci-dessous.

2.on veut calculer la dérivée  u'(x)

On répond à la question suivante : u(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est l’inverse d’une fonction \frac{1}{v} avec v(x)=e^x+1.

on va utiliser la 4ème ligne du tableau n°1.

 On calcule v'(x)=(e^x)’+(1)’=e^x+0=e^x.

Puis pour calculer u'(x), on remplace v(x) par e^x+1 et v'(x) par e^x dans -\frac{v’}{v^2}.

Ainsi u'(x)=-\frac{e^x}{(e^x+1)^2} 

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace k par  3 et  u'(x) par -\frac{e^x}{(e^x+1)^2} dans la formule k\times u’ 

 f'(x)=3\times{-\frac{e^x}{(e^x+1)^2}} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{3}{e^x+1})’\\f'(x)=3\times{(\frac{1}{(e^x+1)})’} \\f'(x)=3\times{(-\frac{e^x}{(e^x+1)^2})} \\f'(x)=-\frac{3e^x}{(e^x+1)^2}

 

 

f(x)= 8(2x+5)^2 pour x\in \mathbf{R}

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit d’un réel par une fonction k\times u avec  k=8 et u(x)=(2x+5)^2.

On va utiliser la ligne n°2 du tableau n°1 ci-dessous.

2.on veut calculer la dérivée  u'(x)

On va utiliser la propriété n°1 du cours : (v^2)'(x)=2\times v'(x) \times v(x) 

avec v(x)=2x+5

et donc v'(x)=(2x+5)’=(2x)’+(5)’=2(x)’+(5)’=2\times1+0=2

On remplace v(x) par 2x+5 et v'(x) par 2 dans (v^2)'(x)=2\times v'(x) \times v(x) 

Ainsi u'(x)=2\times 2\times (2x+5) 

u'(x)=4(2x+5) 

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace k par  8 et  u'(x) par [latex]u'(x)=4(2x+5) [/latex] dans la formule k\times u’ 

 f'(x)=8\times{4(2x+5) } 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (8(2x+5)^2)’\\f'(x)=8\times{((2x+5)^2)’} \\f'(x)=8\times{2\times 2(2x+5) } \\f'(x)=32(2x+5)

 

 

f(x)= x^2e^{3x} pour x\in \mathbf{R}

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x^2 et v(x)=e^{3x}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x^2 est une fonction de référence, on utilise la 3ème ligne du tableau n°2 ci-dessous

u'(x)=(x^2)’

u'(x)=2x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=e^3x on utilise la propriété 2 du cours : (e^w)'(x)= w'(x) \times {e^{w(x)}}

avec w(x)=3x

donc w'(x)=3

Ainsi

v'(x)=(e^{3x})’

v'(x)=(3x)’e^{3x}

v'(x)=3e^{3x}

 

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x^2,  v par e^{3x}, u’ par  2x et v’ par 3e^{3x} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

 f'(x)=2x\times{e^{3x}}+{x^2}\times{3e^{3x}} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (x^2e^{3x})’\\f'(x)=(x^2)’\times{e^{3x}}+x^2\times{(e^{3x})’} \\f'(x)=2x\times{e^{3x}}+x^2\times{3e^{3x}} \\f'(x)=2xe^{3x}+3x^2e^{3x}

On peut éventuellement factoriser

f'(x)=e^{3x}(2x+3x^2)

 

 

f(x)= x^2\sqrt{-4x+12} pour x\in ]-\infty;3]

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=x^2 et v(x)=\sqrt{-4x+12}.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

f(x) est 

f'(x) se calcule ainsi :

une somme u+v

u’+v’

le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku

k\times u’

un produit de deux fonctions u\times v

u’\times v+u\times v’

l’inverse d’une fonction \frac{1}{u}

-\frac{u’}{u^2}

un quotient \frac{u}{v}

 \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x^2 est une fonction de référence, on utilise la 3ème ligne du tableau n°2 ci-dessous

Ainsi u'(x)=2x 

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=\sqrt{-4x+12}

C’est de la forme  f_1(ax+b) avec   f_1(x)=\sqrt{x} , a=-4  et  b=12.

D’après le cours : La fonction g est dérivable et g'(x)= a{f_1}'(ax+b)  

Calcul de {f_1}'(x)

f_1(x) est une fonction de référence

{f_1}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Remarque : pour calculer {f_1}'(-4x+12), on remplace tous les x par -4x+12 dans {f_1}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Ainsi {f_1}'(-4x+12)=\frac{1}{2\sqrt{-4x+12}}

Calcul de v'(x)

On calcule en remplaçant a par -4, b par 12 et {f_1}'(ax+b) par \frac{1}{2\sqrt{-4x+12}} dans la formule a{f_1}'(ax+b)    .

v'(x)=-4\times {\frac{1}{2\sqrt{-4x+12}}}

v'(x)=-\frac{2}{\sqrt{-4x+12}}

 

 

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x^2,  v par \sqrt{-4x+12}, u’ par  2x et v’ par -\frac{2}{\sqrt{-4x+12}} dans la formule u’\times v+u\times v’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (x^2\sqrt{-4x+12})’\\f'(x)=(x^2)’\times{\sqrt{-4x+12}}+x^2\times{(\sqrt{-4x+12})’} \\f'(x)=2x\sqrt{-4x+12}+{x^2}\times (-4)\times {\frac{1}{2\sqrt{-4x+12}}} \\f'(x)=2x\sqrt{-4x+12}-{\frac{4x^2}{2\sqrt{-4x+12}}} \\f'(x)=2x\sqrt{-4x+12}-{\frac{2x^2}{\sqrt{-4x+12}}}

 

 

f(x)= \frac{e^x}{x} pour x\in \mathbf{R} privé de 0

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=e^x et v(x)=x.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=e^x

C’est une fonction de référence, voir ligne 7 du 2ème tableau.

u'(x)=(e^x)’

u'(x)=e^x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

C’est une fonction de référence, voir ligne 2 du 2ème tableau.

u'(x)=(x)’

u'(x)=1

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  e^x,  v par x, u’ par  e^x et v’ par 1 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{e^x}{x})’\\f'(x)=\frac{(e^x)’\times{(x)}-{e^x}\times{(x)’}}{x^2}\\f'(x)=\frac{e^x\times{x}-{e^x}\times{1}}{x^2}\\f'(x)=\frac{xe^x-e^x}{x^2}

On peut mettre e^x en facteur au numérateur

f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}

 

 

 f(x)= \frac{4x^2-8x-3}{2x-1} pour x\in \mathbf{R} privé de \frac{1}{2}

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=4x^2-8x-3 et v(x)=2x-1.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=4x^2-8x-3 est une est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(4x^2-8x-3)’

u'(x)=(4x^2)’-(8x)’-(3)’

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (4x^2)’ et (8x)’par 4(x^2)’ et 8(x)’

u'(x)=4(x^2)’-8(x)’-(3)’

On utilise les lignes 1, 2 et 3 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=4\times(2x)-8\times1-0

u'(x)=8x-8

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=2x-1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

v'(x)=(2x-1)’

v'(x)=(2x)’-(1)’

v'(x)=2(x)’-(1)’

On utilise les lignes 1 et 2 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

v'(x)=2\times 1-0

v'(x)=2

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  4x^2-8x-3,  v par 2x-1, u’ par  8x-8 et v’ par 2 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

 Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{4x^2-8x-3}{2x-1})’\\f'(x)=\frac{(4x^2-8x-3)’\times{(2x-1)}-{(4x^2-8x-3)}\times{(2x-1)’}}{(2x-1)^2}\\f'(x)=\frac{(8x-8)\times{(2x-1)}-{(4x^2-8x-3)}\times{2}}{(2x-1)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

f'(x)=\frac{(16x^2-8x-16x+8)-(8x^2-16x-6)}{(2x-1)^2}

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

f'(x)=\frac{16x^2-8x-16x+8-8x^2+16x+6}{(2x-1)^2} 

On réduit au numérateur

f'(x)=\frac{8x^2-8x+14}{(2x-1)^2} 

f(x)= (2\sqrt{x}+6x+1)^2 pour x\in [0;+\infty[

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  ou le carré d’une fonction ? (la liste s’allonge)

C’est le carré d’une fonction : u^2 avec u(x)=2\sqrt{x}+6x+1.

D’après le cours : La fonction u^2:x\rightarrow(u(x))^2 est dérivable , (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x) 

Calcul de u'(x)

u(x) est une somme

u'(x)=(2\sqrt{x}+6x+1)’

u'(x)=(2\sqrt{x})’+(6x)’+(1)’

u'(x)=2(\sqrt{x})’+6(x)’+(1)’

u'(x)=2\times\frac{1}{2\sqrt{x}}+6\times 1+0

u'(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}}+6

u'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+6

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant u(x) par 2\sqrt{x}+6x+1 et u'(x) par \frac{1}{\sqrt{x}}+6 dans la formule 2\times u'(x) \times u(x) .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=((2\sqrt{x}+6x+1)^2)’\\f'(x)=2 \times(2\sqrt{x}+6x+1)’\times(2\sqrt{x}+6x+1)\\f'(x)=2 \times((2\sqrt{x})’+(6x)’+(1)’)\times(2\sqrt{x}+6x+1)\\f'(x)=2 \times(2(\sqrt{x})’+6(x)’+(1)’)\times(2\sqrt{x}+6x+1)\\f'(x)=2 \times(2\frac{1}{2\sqrt{x}}+6+0)\times(2\sqrt{x}+6x+1)\\f'(x)=2 \times (\frac{1}{\sqrt{x}}+6)(2\sqrt{x}+6x+1)

 

 

f(x)= (\frac{1}{x}+x)^2 pour x\in \mathbf{R} privé de 0.

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  ou le carré d’une fonction ? (la liste s’allonge)

C’est le carré d’une fonction : u^2 avec u(x)=\frac{1}{x}+x.

D’après le cours : La fonction u^2:x\rightarrow(u(x))^2 est dérivable , (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x) 

Calcul de u'(x)

u(x) est une somme

u'(x)=(\frac{1}{x}+x)’

u'(x)=(\frac{1}{x})’+(x)’

u'(x)=-\frac{1}{x^2}+1

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant u(x) par \frac{1}{x}+x et u'(x) par -\frac{1}{x^2}+1 dans la formule 2\times u'(x) \times u(x) .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=2\times (\frac{1}{x}+x)’ \times (\frac{1}{x}+x)\\f'(x)=2\times ((\frac{1}{x})’+(x)’ )\times (\frac{1}{x}+x)\\f'(x)=2 (-\frac{1}{x^2}+1) (\frac{1}{x}+x)

 

f(x)= (2x-1)^2 pour x\in \mathbf{R}

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  ou le carré d’une fonction ? (la liste s’allonge)

C’est le carré d’une fonction : u^2 avec u(x)=2x-1.

D’après le cours : La fonction u^2:x\rightarrow(u(x))^2 est dérivable , (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x) 

Calcul de u'(x)

u(x) est une somme

u'(x)=(2x-1)’

u'(x)=(2x)’-(1)’

u'(x)=2(x)’-(1)’

u'(x)=2\times1-0

u'(x)=2

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant u(x) par 2x-1 et u'(x) par 2 dans la formule 2\times u'(x) \times u(x) .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=2\times 2 \times (2x-1)

f'(x)=4 \times (2x-1)

f'(x)=8x-4

 

 

f(x)= e^{\frac{3}{x}} pour x\in \mathbf{R} privé de 0.

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  , le carré d’une fonction ou e^{u(x)}  ? (la liste s’allonge)

C’est de la forme  e^{u(x)} avec  u(x)=\frac{3}{x}.

D’après le cours : La fonction e^u:x\rightarrow e^{u(x)} est dérivable et (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}} 

Calcul de u'(x)

u'(x)=(\frac{3}{x})’

u'(x)=3 \times( \frac{1}{x})’

u'(x)=3 \times( -\frac{1}{x^2})

u'(x)= -\frac{3}{x^2}

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant u(x) par \frac{3}{x} et u'(x) par -\frac{3}{x^2} dans la formule u'(x) \times {e^{u(x)}}  .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=(e^{\frac{3}{x}})’ \\f'(x)=(\frac{3}{x})’ e^{\frac{3}{x}} \\f'(x)=3\times(\frac{1}{x})’ e^{\frac{3}{x}} \\f'(x)=3\times(-\frac{1}{x^2}) e^{\frac{3}{x}} \\f'(x)=-\frac{3}{x^2} e^{\frac{3}{x}}

 

 

f(x)= \sqrt{-2x+8} pour x\in ]-\infty;4]

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  , le carré d’une fonction , e^{u(x)} ou f_1(ax+b)  ? (la liste s’allonge)

Ici on avait un problème de notation. La lettre f est utilisée dans l’énoncé de l’exercice, on ne peut ni prendre f’ (c’est la dérivée) ni prendre F ( cette notation est réservée aux primitives ) c’est pourquoi on  a choisi f_1.

C’est de la forme  f_1(ax+b) avec   f_1(x)=\sqrt{x} , a=-2  et  b=8.

D’après le cours : La fonction g est dérivable et g'(x)= a{f_1}'(ax+b)  

Calcul de {f_1}'(x)

f_1(x) est une fonction de référence

{f_1}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Remarque : pour calculer {f_1}'(-2x+8), on remplace tous les x par -2x+8 dans {f_1}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Ainsi {f_1}'(-2x+8)=\frac{1}{2\sqrt{-2x+8}}

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant a par -2, b par 8 et {f_1}'(ax+b) par \frac{1}{2\sqrt{-2x+8}} dans la formule a{f_1}'(ax+b)    .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=(\sqrt{-2x+8})’

f'(x)=-2\times {\frac{1}{2\sqrt{-2x+8}}} \\f'(x)=-\frac{2}{2\sqrt{-2x+8}} \\f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{-2x+8}}

 

 

f(x)= (16x+5)^6 pour x\in \mathbf{R}

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  , le carré d’une fonction , e^{u(x)} ou f_1(ax+b)  ? (la liste s’allonge)

Ici on avait un problème de notation. La lettre f est utilisée dans l’énoncé de l’exercice, on ne peut ni prendre f’ (c’est la dérivée) ni prendre F ( cette notation est réservée aux primitives ) c’est pourquoi on  a choisi f_1.

C’est de la forme  f_1(ax+b) avec   f_1(x)=x^6 , a=16  et  b=5.

D’après le cours : La fonction g est dérivable et g'(x)= a{f_1}'(ax+b)  

Calcul de {f_1}'(x)

f_1(x) est une fonction de référence

{f_1}'(x)=6x^{6-1}

{f_1}'(x)=6x^5

Remarque : pour calculer {f_1}'(16x+5), on remplace tous les x par 16x+5 dans {f_1}'(x)=6x^5. Ainsi {f_1}'(2x+5)=6(16x+5)^5

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant a par 16, b par 5 et {f_1}'(ax+b) par 6(16x+5)^5 dans la formule a{f_1}'(ax+b)    .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=((16x+5)^6)’

f'(x)=16\times {6(16x+5)^5} \\f'(x)=96(16x+5)^6

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.