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TC.Equation de la tangente à une courbe en un point

Sommaire

Activité :

le but de cette activité est exprimer l’équation réduite de la tangente (AM) en utilisant x, y, a , f(a)

  1. Déterminer le coefficient directeur de la droite passant par les points A(a;f(a)) et M(x;y) comme on le faisait en classe de seconde.
correction

2. En utilisant le cours de première , exprimer le coefficient directeur de la tangente (AM) à la courbe de la fonction f au point d’abscisse a .

correction

3. Synthèse : en déduire l’équation de la tangente (AM) en utilisant x, y, a , f(a)

correction

Propriété :

L’équation de la tangente à la courbe de la fonction f au point d’abscisse a a pour équation réduite :

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Comment déterminer l’équation de la tangente à la courbe de la fonction f au point d’abscisse a :

  1. Je calcule f(a) en remplaçant tous les x par a dans f(x)=…
  2. Je calcule f'(x) puis je calcule f'(a) en remplaçant tous les x par a dans f'(x)=…
  3. Je remplace a,f(a),f'(a) par leurs valeurs dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

Exercice :

Dans chaque cas, déterminer par le calcul l’équation de la tangente à la courbe de la fonction f au point d’abscisse a. 

  1. f(x)=(x-1)^2 et a=2
correction

2. f(x)=\sqrt{x+1} et a=3

correction

3. f(x)=\frac{5x+1}{x^2+1} et a=0

correction

Comment valider le résultat obtenu pour  l’équation de la tangente avec Géogébra :

  1. Je saisis f(x)=\frac{5x+1}{x^2+1} dans la colonne de gauche, la courbe apparaît sur le graphique;
  2. Je place A le point de la courbe d’abscisse 0. Pour cela cliquer sur le 2ème onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Point dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur la courbe au bon endroit.
  3. Je trace la tangente en A. Pour cela cliquer sur le 4ème onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Tangentes dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur la courbe et sur le point A. L’équation de la tangente apparaît dans la colonne de gauche.

©2020 – Math’O karé SAS

Pour déterminer le coefficient directeur de la droite passant par les points A(a;f(a)) et M(x;y) comme on le faisait en classe de seconde, je procède ainsi :

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et M ainsi

\hspace{0.9cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{M} y_{M}

\hspace{0.4cm} A(a;f(a)) \hspace{0.4cm} M(x;y)

Je  calcule le coefficient directeur , en utilisant la formule suivante:

\hspace{2cm} a=\frac{y_{M}-y_{A}} {x_{M}-x_{A}}

\hspace{2cm} a=\frac{y-f(a)} {x-a}

En utilisant le cours de première , le coefficient directeur de la tangente (AM) à la courbe de la fonction f au point d’abscisse a est f'(a)

Dans la question 1, on a obtenu cette réponse pour le coefficient directeur : \frac{y-f(a)} {x-a}.

Dans la question 2, on a obtenu cette réponse pour le coefficient directeur : f'(a).

Donc 

\frac{y-f(a)} {x-a}=f'(a)

On multiplie par x-a de chaque côté 

y-f(a) =f'(a)(x-a)\\y =f'(a)(x-a)+f(a)

Et on a donc déterminé l’équation de la tangente à la courbe de la fonction f au point d’abscisse a.

 

f(x)=(x-1)^2 et a=2

Je calcule f(2) en remplaçant tous les x par 2 dans f(x)=(x-1)^2

f(2)=(2-1)^2

f(2)=(1)^2

f(2)=1

Je calcule f'(x)

f(x)=(x-1)^2

f(x) est de la forme (u(x))^2 avec u(x)=x-1 donc u'(x)=1.

Sa dérivée sera de la forme 2u'(x)u(x).

On remplace u(x) par x-1  et u'(x) par 1 dans 2u'(x)u(x)

f'(x)=((x-1)^2)’

f'(x)=2(x-1)'(x-1)

f'(x)=2\times 1\times (x-1)

f'(x)=2(x-1)

puis je calcule f'(2) en remplaçant tous les x par 2 dans f'(x)=2(x-1)

f'(2)=2(2-1)

f'(2)=2\times 1

f'(2)=2

Je remplace a,f(a),f'(a) par 2,1,2 dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=2(x-2)+1

y=2x-4+1

y=2x-3

 

 

  f(x)=\sqrt{x+1} et a=3

Je calcule f(3) en remplaçant tous les x par 3 dans f(x)=\sqrt{x+1}

f(3)=\sqrt{3+1}\\f(3)=\sqrt{4}\\f(3)=2

Je calcule f'(x)

f(x)=\sqrt{x+1}

f(x) est de la forme f_1(ax+b) avec f_1(x)=\sqrt{x} a=1 et b=1.

  {f_1}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Sa dérivée sera de la forme a{f_1}'(ax+b).

On remplace a par 1  et {f_1}'(ax+b) par \frac{1}{2\sqrt{x+1}} dans a{f_1}'(ax+b)

f'(x)=(\sqrt{x+1})’

f'(x)=1\times \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\\ f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x+1}}

puis je calcule f'(3) en remplaçant tous les x par 3 dans f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x+1}}

f'(3)= \frac{1}{2\sqrt{3+1}}\\ f'(3)= \frac{1}{2\sqrt{4}}\\ f'(3)= \frac{1}{2\times 2}\\ f'(3)= \frac{1}{4}

Je remplace a,f(a),f'(a) par 3,2,\frac{1}{4} dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=\frac{1}{4}(x-3)+2

y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\times 3+2

y=\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}+2\times \frac{4}{4}

y=\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}+ \frac{8}{4}

y=\frac{1}{4}x+ \frac{5}{4}

 

 

f(x)=\frac{5x+1}{x^2+1} et a=0

Je calcule f(0) en remplaçant tous les x par 0 dans f(x)=\frac{5x+1}{x^2+1}

f(0)=\frac{5\times 0+1}{0^2+1}\\f(0)=\frac{1}{1}\\f(0)=1

 On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=5x+1 et v(x)=x^2+1.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=5x+1 est une est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(5x+1)’

u'(x)=(5x)’+(1)’

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (5x)’ par 5(x)’ 

u'(x)=5(x)’+(1)’

On utilise les lignes 1 et 2 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=5\times 1+0

u'(x)=5

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=x^2+1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

v'(x)=(x^2+1)’

v'(x)=(x^2)’+(1)’

v'(x)=2x+0

v'(x)=2x

 

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  5x+1,  v par x^2+1, u’ par  5 et v’ par 2x dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

 Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{5x+1}{x^2+1})’\\f'(x)=\frac{(5x+1)’\times{(x^2+1)}-{(5x+1)}\times{(x^2+1)’}}{(x^2+1)^2}\\f'(x)=\frac{5\times{(x^2+1)}-{(5x+1)}\times{2x}}{(x^2+1)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

f'(x)=\frac{(5x^2+5)-(10x^2+2x)}{(x^2+1)^2}

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

f'(x)=\frac{5x^2+5-10x^2-2x}{(x^2+1)^2}

On réduit au numérateur

f'(x)=\frac{-5x^2-2x+5}{(x^2+1)^2}

 je calcule f'(0) en remplaçant tous les x par 0 dans f'(x)=\frac{-5x^2-2x+5}{(x^2+1)^2} 

f'(0)=\frac{-5\times 0^2-2\times 0+5}{(0^2+1)^2} 

f'(0)=\frac{5}{1} 

f'(0)= 5

Je remplace a,f(a),f'(a) par 0,1,5 dans y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=5(x-0)+1

y=5x+1

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.