Exemple n°1 : Résoudre dans \mathbf{R}, -x^2+2x-1\leq 0
1.Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement -x^2+2x-1\leq 0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est en dessous ou sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=-x^2+2x-1.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est en dessous ou sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
On conjecture donc graphiquement que l’ensemble solution est S=\left]-\infty;+\infty\right[.
.
2. Résoudre -x^2+2x-1\leq 0 par le calcul.
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme -x^2+2x-1 est de signe négatif (–) ou nul (0)
Etape n°2: Etude du signe de -x^2+2x-1 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=-1, b=2 et c=-1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par (-1), 2, (-1) .
\Delta=2²-4\times{(-1)}\times{(-1)}\\\Delta=4-4\\\Delta=0comme \Delta=0, ax²+bx+c est toujours du signe de a et s’annule pour x_0=-\frac{b}{2a}
Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b par (-1), 2.
x_0=-\frac{2}{2\times{(-1)}}\\x_0=-\frac{2}{(-2)}\\x_0=1Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=-1 le signe de a est négatif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme -x^2+2x-1 est de signe négatif (–) ou nul (0) pour toutes les valeurs de x.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
S=\left]-\infty;+\infty\right[.
3. Vérification à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
Pour toutes les valeurs le polynôme est négatif ou nul.
Exemple n°2 : Résoudre dans \mathbf{R}, 2x^2-2x-1\leq 0
1.Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement 2x^2-2x-1\leq 0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est en dessous ou sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=2x^2-2x-1.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est en dessous ou sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
On a dit OUI pour les valeurs comprises entre -0.4 et 1.4.
Comme on a dit OUI pour la valeur -0.4 on doit l’inclure dans l’intervalle solution. Il faut donc fermer le crochet, c’est-à-dire que le crochet est tourné vers l’intérieur de l’intervalle.
Comme on a dit OUI pour la valeur 1.4 on doit l’inclure dans l’intervalle solution. Il faut donc fermer le crochet, c’est-à-dire que le crochet est tourné vers l’intérieur de l’intervalle.
S=\left[-0.4;+1.4\right]2. Résoudre 2x^2-2x-1\leq 0 par le calcul.
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme 2x^2-2x-1 est de signe négatif (–) ou nul (0)
Etape n°2: Etude du signe de 2x^2-2x-1 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=2, b=-2 et c=-1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 2, (-2) ,(-1) .
\Delta=(-2)²-4\times{2}\times{(-1)}\\\Delta=4+8\\\Delta=12Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 2, (-2), 12.
x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{12}}{2\times{2}}\\x_1=\frac{2-\sqrt{12}}{4}Comme 12=4 \times 3, on a \sqrt{12}=\sqrt{4} \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}.
x_1=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}.
Pour simplifier, mettons 2 en facteur au numérateur d’abord et transformons le dénominateur en un produit dont l’un des facteurs est 2 .
x_1=\frac{2(1-\sqrt{3})}{2\times 2}.
x_1=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 2, (-2), 12.
x_2=\frac{-(-2)+\sqrt{12}}{2\times{2}}\\x_2=\frac{2+\sqrt{12}}{4}Comme 12=4 \times 3, on a \sqrt{12}=\sqrt{4} \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}.
x_2=\frac{2+2\sqrt{3}}{4}.
Pour simplifier, mettons 2 en facteur au numérateur d’abord et transformons le dénominateur en un produit dont l’un des facteurs est 2 .
x_2=\frac{2(1+\sqrt{3})}{2\times 2}.
x_2=\frac{1+\sqrt{3}}{2}.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=2 le signe de a est positif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme 2x^2-2x-1 est de signe négatif (–) ou nul (0) pour la troisième colonne du tableau.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle.
Comme on prend les zéros, on prend \frac{1-\sqrt{3}}{2} et \frac{1+\sqrt{3}}{2} on doit les inclure dans l’intervalle solution. Il faut donc fermer les crochets, c’est-à-dire que les crochets sont tournés vers l’intérieur de l’intervalle.
S=\left[\frac{1-\sqrt{3}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right].
3. Vérification à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
Exemple n°3 : Résoudre dans \mathbf{R}, 2x^2-x-3> 0
1.Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement 2x^2-x-3> 0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=2x^2-x-3.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est au dessus et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
On conjecture donc graphiquement que le polynôme 2x^2-x-3=0 est de signe + sur la réunion d’intervalles [-2.5;-1[\cup]1.5;2]
Comme on a dit NON pour les valeurs -1 et 1.5 on doit les exclure de l’intervalle solution. Il faut donc ouvrir le crochet, c’est-à-dire que le crochet est tourné vers l’extérieur de l’intervalle.
Comme on a dit OUI pour les valeurs -2.5 et 2 on doit les inclure dans l’intervalle solution. Il faut donc fermer le crochet, c’est-à-dire que le crochet est tourné vers l’intérieur de l’intervalle.
2. Résoudre 2x^2-x-3>0 par le calcul.
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme 2x^2-x-3 est de signe positif (+).
Etape n°2: Etude du signe de 2x^2-x-3 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=2, b=-1 et c=-3.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 2, (-1) ,(-3) .
\Delta=(-1)²-4\times{2}\times{(-3)}\\\Delta=1+24\\\Delta=25Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
ax²+bx+c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 2, (-1), 25.
x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\times{2}}\\x_1=\frac{1-5}{4}\\x_1=-\frac{4}{4}.
x_1=-1.
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 2, (-1), 25.
x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\times{2}}\\x_2=\frac{1+5}{4}\\x_2=\frac{6}{4}.
x_2=\frac{3}{2}.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=2 le signe de a est positif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme 2x^2-x-3 est de signe positif (+) pour les première et troisième colonnes du tableau.
J’écris l’ensemble solution sous forme d’une réunion d’intervalles.
Comme on ne prend pas les zéros, on ne prend pas les valeurs -1 et \frac{3}{2} on doit les exclure de l’intervalle solution. Il faut donc ouvrir les crochets, c’est-à-dire que les crochets sont tournés vers l’extérieur de l’intervalle.
S=]-\infty;-1[\cup]\frac{3}{2};+\infty[.
3. Vérification à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
Exemple n°4 : Résoudre dans \mathbf{R}, 3x^2+x+1> 0
1.Conjecture graphique :
pour résoudre graphiquement 3x^2+x+1 < 0
Je traduis la question par une phrase en français:
Je cherche pour quelles valeurs de x la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 ( c’est l’axe des abscisses)
où f est définie sur \mathbf{R} par f(x)=3x^2+x+1.
Ensuite je parcours la courbe avec mon index de la gauche vers la droite en disant oui si la courbe de la fonction f est en dessous et pas sur la droite d’équation y=0 et non dans le cas contraire.
On conjecture donc graphiquement que le polynôme 3x^2+x+1 n’est jamais de signe –.
2. Résoudre 3x^2+x+1<0 par le calcul.
Etape n°1 : Ecrire la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x le polynôme 3x^2+x+1 est de signe négatif (–).
Etape n°2: Etude du signe de 3x^2+x+1 par le calcul en utilisant le théorème vu dans la fiche 1.signe d’un polynôme du 2nd degré.
J’identifie les coefficients l’équation a=3, b=1 et c=1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 3, 1 ,1 .
\Delta=1²-4\times{3}\times{1}\\\Delta=1-12\\\Delta=-11Comme \Delta<0 , ax²+bx+c est toujours du signe de a.
Je dresse le tableau de signes du polynôme:
Comme a=2 le signe de a est positif.
Etape n°3 : Je réponds à la question posée en lisant le tableau de signes
le polynôme 3x^2+x+1 n’est jamais de signe négatif (–).
S=\varnothing.
