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TC.Dérivées et variations

Sommaire

Propriété 

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbf{R}

Si pour tout x de I , f'(x)>0 alors f est strictement croissante sur I.

Si pour tout x de I , f'(x)<0 alors f est strictement décroissante sur  I.

Si pour tout x de I , f'(x)=0 alors f est constante sur  I.

Exercice n°1 

AIDE : Dans cet exercice et les suivants, il faudra calculer f'(x) vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous pour conjecturer ou vérifier votre résultat.

CALCUL FORMEL GEOGEBRA: calcul de f'(x)

De plus il faudra étudier le signe de f'(x) vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous pour conjecturer ou vérifier votre résultat.

CALCUL FORMEL GEOGEBRA: signe de f'(x)

Soit la fonction f définie sur [0;4] par f(x)=3x^2-12x+4.

  1. Calculer f'(x).
correction

2. Etudier le signe de f'(x) sur [0;4].

correction

3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [0;4].

correction

Exercice n°2 

Soit la fonction f définie sur [-4;4] par f(x)=x^3-12x.

  1. Calculer f'(x).
correction

2. Etudier le signe de f'(x) sur [-4;4].

correction

3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [-4;4].

correction

Exercice n°3 

Soit la fonction f définie sur [0;2[\cup]2;4] par f(x)=\frac{3}{2x-4}.

  1. Calculer f'(x).
correction

2. Etudier le signe de f'(x) sur [0;2[\cup]2;4].

correction

3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [0;2[\cup]2;4].

correction

Exercice n°4 

Soit la fonction f définie sur [-4;4] par f(x)=\sqrt{2x+8}.

  1. Calculer f'(x).
correction

2. Etudier le signe de f'(x) sur [-4;4].

correction

3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [-4;4].

correction

Exercice n°5

Soit la fonction f définie sur [-2;2[\cup]2;5] par f(x)=\frac{x^2-1}{2x-4}.

  1. Calculer f'(x).
correction

2. Etudier le signe de f'(x) sur [-2;2[\cup]2;5] .

correction

3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [-2;2[\cup]2;5] .

correction

Valider les variations avec Géogébra

On saisit par exemple

f(x)=3x^2-12x+4 dans la colonne de gauche et on lit graphiquement les variations de f  sur [0;4] puis on compare avec le tableau de variations obtenu.

Si vous ne voyez pas la courbe dans son ensemble, utilisez le 11ème onglet pour déplacer le graphique, agrandir ou réduire.

©2020 – Math’O karé SAS

Vérification du calcul de la dérivée f'(x) avec Géogébra.

Sur la ligne 1, saisir l’expression de la fonction f(x)=

Ensuite cliquer sur l’onglet f’.

Apparaît ensuite dans la fenêtre Dérivée: f'(x)= le résultat.

Vérification du signe de la dérivée f'(x) avec Géogébra.

Un exemple : soit f(x)=x^3-3x.

On calcule f'(x)=3x^2-3

Sur la ligne 1, saisir l’inégalité obtenue en écrivant l’expression de f'(x) suivie de par exemple, >0 c’est-à-dire

3x^2-3>0. 

En écrivant cette inégalité, on cherche pour quelles valeurs de x   , la dérivée f'(x) est positive.

Ensuite cliquer sur l’onglet X=.

Apparaît ensuite dans la fenêtre Résoudre:  le résultat ( c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles la dérivée est positive).

Pour l’exemple, on obtient

Résoudre {x<-1,x>1}

Soit la fonction f définie sur [0;4] par f(x)=3x^2-12x+4

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de trois termes :

3x^2 , -12x et 4.

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

Il faut donc calculer les dérivées des trois termes 3x^2 , -12x et 4 en utilisant le tableau n°2 ci-dessous

(3x^2)’=3(x^2)’ d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x^2)’=2x d’après la 3ème formule du tableau n°2.

Donc (3x^2)’=3\times 2x=6x

(-12x)’=-12(x)’ d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x)’=1 d’après la 2ème formule du tableau n°2.

Donc (-12x)’=-12\times 1=-12

4’=0 d’après la 1ème formule du tableau n°2.

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (3x^2-12x+4)’\\f'(x)= (3x^2)’-(12x)’+(4)’\\f'(x)= 3(x^2)’-12(x)’+(4)’\\f'(x)= 3\times 2x-12\times 1+0\\f'(x)= 6x-12

On veut étudier le signe de f'(x)=6x-12.

On utilise la deuxième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax+b.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes .

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes .

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

On résout l’inéquation quantité > 0 et on détermine pour quelles valeurs de x la quantité est positive. On déduit ensuite les valeurs de x pour lesquelles la quantité est négative

a=6  donc le signe de a est positif .

b=-12\\-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{6}=2

On en déduit le tableau de signes suivant

 

 

 

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On calcule f(0), f(2) et f(4) pour compléter la troisième ligne.

f(0)=3\times 0^2-12\times 0+4=4

f(2)=3\times 2^2-12\times 2+4=-8

f(4)=3\times 4^2-12\times 4+4=4

 

 

Soit la fonction f définie sur [-4;4] par f(x)=x^3-12x.

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est la somme de deux termes :

x^3 et -12x. 

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous

Il faut donc calculer les dérivées des deux termes x^3 et -12x en utilisant le tableau n°2 ci-dessous

(x^3)’=3x^2 d’après la 4ème formule du tableau n°2 avec n=3

(-12x)’=-12(x)’ d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x)’=1 d’après la 2ème formule du tableau n°2.

Donc (-12x)’=-12\times 1=-12

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (x^3-12x)’\\f'(x)= (x^3)’-(12x)’\\f'(x)= 3x^2-12(x)’\\f'(x)= 3x^2-12\times 1\\f'(x)= 3x^2-12

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=3x^2-12.

On utilise la troisième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est de la forme ax^2+bx+c.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe de chaque facteur et on applique la règle des signes.

On fait un tableau de signes comme en seconde : on étudie le signe du numérateur, le signe du dénominateur et on applique la règle des signes.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

J’identifie les coefficients du polynôme. a=3, b=0 et c=-12.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 3, 0 ,(-12)  .

\Delta=0²-4\times{3}\times{(-12)}\\\Delta=0+144\\\Delta=144

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3, 0, 144.

x_1=\frac{-0-\sqrt{144}}{2\times{3}}\\x_1=\frac{0-12}{6}\\x_1=-2

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 3, 0  , 144.

x_2=\frac{-0+\sqrt{144}}{2\times{3}}\\x_2=\frac{0+12}{6}\\x_2=2

Je dresse le tableau de signes du polynôme:

Comme a=3 le signe de a est positif.

 

 

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On calcule f(-4) ,  f(-2) , f(2) et f(4) pour compléter la troisième ligne.

f(-4)=(-4)^3-12\times (-4)=-16

f(-2)=(-2)^3-12\times (-2)=16

f(2)=2^3-12\times 2=-16

f(4)=4^3-12\times 4=16

 

 

Soit la fonction f définie sur [0;2[\cup]2;4] par f(x)=\frac{3}{2x-4}.

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit d’un réel par une fonction avec k=3 et u(x)=\frac{1}{2x-4}.

On va utiliser la ligne n°2 du tableau n°1 ci-dessous.

2.on veut calculer la dérivée  u'(x)

On répond à la question suivante : u(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est l’inverse d’une fonction \frac{1}{v} avec v(x)=2x-4 et on va utiliser la 4ème ligne du tableau n°1.

 On calcule v'(x)=(2x)’-(4)’=2(x)’-(4)’=2\times1-0=2.

Puis pour calculer u'(x), on remplace v(x) par 2x-4 et v'(x) par 2 dans -\frac{v’}{v^2}.

Ainsi u'(x)=-\frac{2}{(2x-4)^2} 

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace k par  3 et  u'(x) par -\frac{2}{(2x-4)^2} dans la formule k\times u’ 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{3}{2x-4})’\\f'(x)=3\times{(\frac{1}{(2x-4)})’} \\f'(x)=3\times{(-\frac{(2x-4)’}{(2x-4)^2})} \\f'(x)=3\times(-\frac{2}{(2x-4)^2}) \\f'(x)=-\frac{6}{(2x-4)^2}

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=-\frac{6}{(2x-4)^2}.

On utilise la septième  ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde si c’est nécessaire.

On fait un tableau de signes comme en seconde si c’est nécessaire.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Ici \frac{6}{(2x-4)^2} est le quotient de deux nombres positifs donc il est positif.

Donc -\frac{6}{(2x-4)^2} est négatif.

Donc f'(x) est négatif sur l’intervalle  [0;2[\cup]2;4[.

 

 

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On calcule f(0)  et f(4) pour compléter la troisième ligne. Dans la partie Limites et continuité, on verra comment calculer les limites de f(x) à gauche et à droite de 2.

f(0)=\frac{3}{2\times 0-4}=-\frac{3}{4}

f(4)=\frac{3}{2\times 4-4}=\frac{3}{4}

 

 

Soit la fonction f définie sur [-4;4] par f(x)=\sqrt{2x+8}.

On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions  , le carré d’une fonction , e^{u(x)} ou f_1(ax+b)  ? (la liste s’allonge)

Ici on avait un problème de notation. La lettre f est utilisée dans l’énoncé de l’exercice, on ne peut ni prendre f’ (c’est la dérivée) ni prendre F ( cette notation est réservée aux primitives ) c’est pourquoi on  a choisi f_1.

C’est de la forme  f_1(ax+b) avec   f_1(x)=\sqrt{x} , a=2  et  b=8.

D’après le cours : La fonction g est dérivable et g'(x)= a{f_1}'(ax+b)  

Calcul de {f_1}'(x)

f_1(x) est une fonction de référence

{f_1}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Remarque : pour calculer {f_1}'(2x+8), on remplace tous les x par 2x+8 dans {f_1}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Ainsi {f_1}'(2x+8)=\frac{1}{2\sqrt{2x+8}}

Calcul de f'(x)

On calcule en remplaçant a par 2, b par 8 et {f_1}'(ax+b) par \frac{1}{2\sqrt{2x+8}} dans la formule a{f_1}'(ax+b)    .

Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :

f'(x)=(\sqrt{2x+8})’

f'(x)=2\times {\frac{1}{2\sqrt{2x+8}}} \\f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{-2x+8}} \\f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+8}}

 

On veut étudier le signe de f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+8}}

On utilise la septième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On étudie le signe des factreurs et on conclut avec la règle des signes. Si on ne peut pas conclure directement on fait un tableau de signes comme en seconde .

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. On conclut avec la règle des signes. Si on ne peut pas conclure directement on fait un tableau de signes comme en seconde .

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Le numérateur 1 et le dénominateur \sqrt{2x+8} sont positifs donc le quotient \frac{1}{\sqrt{2x+8}} est positif.

Donc f'(x) est positif.

 

 

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On calcule f(-4) et f(4) pour compléter la troisième ligne.

f(-4)=\sqrt{2\times{(-4)+8}}=\sqrt{-8+8}=\sqrt{0}=0

f(4)=\sqrt{2\times{4}+8}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4

 

 

 f(x)= \frac{x^2-1}{2x-4} pour x\in [-2;2[\cup ]2;5]

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec  u(x)=x^2-1 et v(x)=2x-4.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

2a.on veut calculer la dérivée  u'(x)

u(x)=x^2-1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

u'(x)=(x^2-1)’

u'(x)=(x^2)’-(1)’

On utilise les lignes 1 et 3 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

u'(x)=2x-0

u'(x)=2x

2b.on veut calculer la dérivée  v'(x)

v(x)=2x-4 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1 

v'(x)=(2x-4)’

v'(x)=(2x)’-(4)’

v'(x)=2(x)’-(4)’

On utilise les lignes 1 et 2 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

v'(x)=2\times 1-0

v'(x)=2

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  x^2-1,  v par 2x-4, u’ par  2x et v’ par 2 dans la formule \frac{u’\times v-u\times v’}{v^2} 

 Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{x^2-1}{2x-4})’\\f'(x)=\frac{(x^2-1)’\times{(2x-4)}-{(x^2-1)}\times{(2x-4)’}}{(2x-4)^2}\\f'(x)=\frac{2x\times{(2x-4)}-{(x^2-1)}\times{2}}{(2x-4)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

f'(x)=\frac{(4x^2-8x)-(2x^2-2)}{(2x-4)^2}

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

f'(x)=\frac{4x^2-8x-2x^2+2}{(2x-1)^2} 

On réduit au numérateur

f'(x)=\frac{2x^2-8x+2}{(2x-1)^2} 

 

 

On veut étudier le signe de f'(x)=\frac{2x^2-8x+2}{(2x-4)^2}.

On utilise la septième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.

  1. de nombres positifs alors la quantité est positive.
  2. de nombres négatifs alors la quantité est négative.
  3. de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure

On peut factoriser et étudier le signe d’un produit

On peut résoudre la quantité >0 

…

On utilise le tableau suivant :

On utilise le résultat du cours suivant :

si \Delta>0

si \Delta=0

si \Delta<0

La quantité est toujours positive.

Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives

La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.

Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.

On fait un tableau de signes comme en seconde.

On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.

On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.  

Comme le dénominateur (2x-4)^2 est un carré, il est positif.

Le quotient est donc du signe du numérateur : 2x^2-8x+2

On étudie le signe de 2x^2-8x+2, on utilise dans le tableau la 3ème ligne : la quantité est de la forme ax²+bx+c

J’identifie les coefficients du polynôme. a=2, b=-8 et c=2.

Je calcule \Delta=b²-4ac  en remplaçant a,b,c  par 2, (-8) ,2  .

\Delta=(-8)²-4\times{2}\times{2}\\\Delta=64-16\\\Delta=48

Comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.

ax²+bx+c est  du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de (-a) à l’intérieur des racines.

Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2, (-8), 48.

x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{48}}{2\times{2}}\\x_1=\frac{8-\sqrt{16\times3}}{4}\\x_1=\frac{8-\sqrt{16}\times{\sqrt{3}}}{4}\\x_1=\frac{8-4\sqrt{3}}{4}\\x_1=\frac{4(2-\sqrt{3})}{4}\\x_1=2-\sqrt{3}

Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta  par 2, (-8)  , 48.

x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{48}}{2\times{2}}\\x_2=\frac{8+\sqrt{16\times3}}{4}\\x_2=\frac{8+\sqrt{16}\times{\sqrt{3}}}{4}\\x_2=\frac{8+4\sqrt{3}}{4}\\x_2=\frac{4(2+\sqrt{3})}{4}\\x_2=2+\sqrt{3}

Je dresse le tableau de signes du numérateur 2x^2-8x+2 

Comme a=2 le signe de a est positif.

Maintenant  je dresse le tableau de signes de f'(x)=\frac{2x^2-8x+2}{(2x-4)^2} sur [-2;2[\cup]2;5]. On rappelle que 2 est une valeur interdite car elle annule le dénominateur.

 

 

On utilise la question précédente pour remplir la ligne du signe de f'(x).

On calcule f(-2),  f(2-\sqrt3)),  f(2-\sqrt3) et f(5) pour compléter la troisième ligne.

On utilise la calculatrice TI-83 Python

 

 

Réponse:

\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.

Résoudre graphiquement f(x)=1

C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.

Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.

Les antécédents sont -2 et 2.

Donc S=\{-2;2\}

Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.