TC.Continuité, théorème des valeurs intermédiaires

Analyse, Dérivation, Niveau terminale maths complémentaires

Continuité d’une fonction

Définition : Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si la courbe de $f$ est obtenue sans jamais lever le crayon de la feuille.

Le trait est obtenu sans lever le crayon, la fonction carré est continue sur l’intervalle $[-2;2]$

Le trait est obtenu en levant le crayon le crayon, la fonction inverse n’est pas continue sur l’intervalle $[-2;2]$

Propriété : Une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur l’intervalle $I$ .

Théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème :

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ .

$a$ et $b$ désignent deux réels de $I$ tels que $a<b$

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$ .

Illustration graphique du théorème

Dans la fenêtre Géogébra ci-dessous, $f(x)=\frac{x^3-3x}{2}$ , $a=-2.5$ et $b=2.5$ .

Déterminer graphiquement $f(a)$ et $f(b)$ c’est-à-dire $f(-2.5)$ et $f(2.5)$

2. En déplacant le $k$ du graphique, déterminer une valeur de $k$ pour laquelle $f(c)=k$ admet

a. une solution

b. deux solutions

c. trois solutions

Propriété

On considère une fonction $f$ définie, continue et strictement monotone ( c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante )sur un intervalle $[a;b]$ .

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution ( souvent notée $\alpha$ ) dans l’intervalle $[a;b]$ .

Remarque : cette propriété peut être étendue à tout type d’intervalle.

Illustration graphique de la propriété

Cas d’une fonction strictement croissante

Cas d’une fonction strictement décroissante

Illustration de la propriété avec un tableau de variations

Exercices

Exercice n°1

AIDE : Dans cet exercice et les suivants, il faudra calculer $f'(x)$ vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous pour conjecturer ou vérifier votre résultat.

De plus il faudra étudier le signe de $f'(x)$ vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous pour conjecturer ou vérifier votre résultat.

Soit la fonction $f$ définie sur $[-2;4]$ par $f(x)=\frac{1}{4}x^2+x-3$ .

Calculer $f'(x)$ .

2. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[-2;4]$ .

3. Dresser le tableau de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;4]$ .

4.a. Démontrer que l’équation $f(x)=1$ sur admet une solution unique notée $\alpha$ dans l’intervalle $[-2;4]$ .

4.b. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

Exercice n°2

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;4]$ par $f(x)=e^{2x-8}$ .

Calculer $f'(x)$ .

2. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[0;4]$ .

3. Dresser le tableau de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$ .

4.a. Démontrer que l’équation $f(x)=\frac{1}{2}$ sur admet une solution unique notée $\alpha$ dans l’intervalle $[0;4]$ .

4.b. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

Exercice n°3

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par $f(x)=\frac{-x+2}{2x+1}$ .

Calculer $f'(x)$ .

2. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[0;10]$ .

3. Dresser le tableau de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;10]$ .

4.a. Démontrer que l’équation $f(x)=\sqrt{2}$ sur admet une solution unique notée $\alpha$ dans l’intervalle $[0;10]$ .

4.b. A l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur de $\alpha$ .

Exercice n°4

Soit la fonction $f$ définie sur $[-4;5]$ par $f(x)=\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{4}-3x+1$ .

Calculer $f'(x)$ .

2. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $[-4;5]$ .

3. Dresser le tableau de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;5]$ .

4.a. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet trois solutions notées $\alpha,\beta,\gamma$ dans l’intervalle $[-4;5]$ .

4.b. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée pour chaque solution à $10^{-2}$ près.

5. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;5]$ .

Valider les variations avec Géogébra

On saisit par exemple $f(x)=\frac{1}{4}x^2+x-3$ la fonction de l’exercice n°1 dans la colonne de gauche et on lit graphiquement les variations de $f$ sur $[-2;4]$ puis on compare avec le tableau de variations obtenu.