1. Dérivation et opérations. Exercices.

ANALYSE, Dérivation, Niveau première, Non classé, Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, inverse, quotient.

Exercice n°1 (dérivée d’une somme)

Calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)=x^3+2x+4$

pour $x \in \mathbf{R}$

2. $f(x)=-2x^2+\sqrt{5}x+1$

pour $x \in \mathbf{R}$

3. $f(x)=3x^3-\frac{x}{2}+7.5$

pour $x \in \mathbf{R}$

4. $f(x)=x^2-\frac{1}{x}$

pour $x \in ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$

5. $f(x)=\frac{4}{5}x^2+2\sqrt{x}$

pour $x \in ]0;+\infty[$

6. $f(x)=3\sqrt{x}+\frac{2}{x} \\x \in ]0;+\infty[$

Exercice n°2 (dérivée d’un produit)

Calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)=x\sqrt{x}$

pour $x \in ]0;+\infty[$

2. $f(x)=(\sqrt{x}+1)(x^2-2)$

pour pour $x \in ]0;+\infty[$

3. $f(x)= (3x+1)(x+2)$

pour $x \in \mathbf{R}$

Exercice n°3 (dérivée de l’inverse)

Calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)= \frac{1}{-2x+1}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé $\frac{1}{2}$

2. $f(x)= \frac{1}{2x^2+x+4}$ pour $x\in \mathbf{R}$

3. $f(x)= \frac{5}{x^2-1}$ pour $x\in ]1;+\infty[$

Exercice n°4 (dérivée d’un quotient)

Calculer $f'(x)$ dans chaque cas.

$f(x)= \frac{3x+1}{x-4}$ pour $x\in ]4;+\infty[$ .

2. $f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$

pour $x \in ]1;+\infty[$

3. $f(x)=\frac{3x-2}{x^2+2x+1}$

pour $x \in ]-1;+\infty[$

Valider avec l’application Calcul Formel de géogébra

Par exemple, pour vérifier le résultat de l’exo 1.1, taper

$f(x)=x^3+2x+4$ sur la ligne 1 puis cliquer sur l’onglet $f’$ ( le 9ème en partant de la gauche).

S’affiche alors Dérivée: $f'(x)=3x^2+2$

$f(x)= x\sqrt{x}$ pour $x\in ]0;+\infty[$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions $u\times v$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$ .

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=x$ est une fonction de référence, on utilise la ligne identité du tableau n°2 ci-dessous

$u'(x)=1$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=\sqrt{x}$ est une fonction de référence, on utilise la ligne racine carrée du tableau n°2 ci-dessous

$v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $x$ , $v$ par $\sqrt{x}$ , $u’$ par $1$ et $v’$ par $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ dans la formule $u’\times v+u\times v’$

$f'(x)=1\times{\sqrt{x}}+{x}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (x\sqrt{x})’\\f'(x)=(x)’\times{\sqrt{x}}+x\times{\sqrt{x}’} \\f'(x)=1\times {\sqrt{x}}+{x}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}

On peut s’arrêter là…Pour les plus curieux, poursuivez !

On peut simplifier le deuxième terme de la somme par $\sqrt{x}$

f'(x)=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}

On met au même dénominateur, ici 2.

f'(x)=\sqrt{x}\times{\frac{2}{2} }+\frac{\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}}{2}  \\f'(x)=\frac{3\sqrt{x}}{2}

$f(x)= (\sqrt{x}+1)(x^2-2)$ pour $x\in ]0;+\infty[$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions $u\times v$ avec $u(x)=\sqrt{x}+1$ et $v(x)=x^2-2$ .

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=\sqrt{x}+1$ est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau

$u'(x)=(\sqrt{x}+1)’$

$\hspace{0.9cm}=(\sqrt{x})’+(1)’$

$\hspace{0.9cm}=\frac{1}{2\sqrt{x}}+0$

$\hspace{0.9cm}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=x^2-2$ est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau

$v'(x)=(x^2-2)’$

$\hspace{0.9cm}=(x^2)’-(2)’$

$\hspace{0.9cm}=2x-0$

$\hspace{0.9cm}=2x$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $\sqrt{x}+1$ , $v$ par $x^2-2$ , $u’$ par $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ et $v’$ par $2x$ dans la formule $u’\times v+u\times v’$

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\times{(x^2-2)}+{(\sqrt{x}+1)}\times{2x}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= ((\sqrt{x}+1)(x^2-2))’\\f'(x)=(\sqrt{x}+1)’\times{(x^2-2)}+(\sqrt{x}+1)\times{(x^2-2)’} \\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\times{(x^2-2)}+(\sqrt{x}+1)\times{2x}

On peut s’arrêter là…Pour les plus curieux, poursuivez !

f'(x)=\frac{x^2}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{2\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}+2x

On simplifie la première fraction en haut et en bas par $\sqrt{x}$ et la deuxième par $2$

f'(x)=\frac{x\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}+2x

On réduit $\frac{x\sqrt{x}}{2}+2x\sqrt{x}=\frac{5x\sqrt{x}}{2}$

f'(x)=\frac{5x\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{\sqrt{x}}+2x

$f(x)= (3x+1)(x+2)$ pour $x\in \mathbf{R}$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le produit de deux fonctions $u\times v$ avec $u(x)=3x+1$ et $v(x)=x+2$ .

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=3x+1$ est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau

$u'(x)=(3x+1)’$

$\hspace{0.9cm}=(3x)’+(1)’$

$\hspace{0.9cm}=3(x)’+0$

$\hspace{0.9cm}=3\times 1$

$\hspace{0.9cm}=3$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=x+2$ est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau

$v'(x)=(x+2)’$

$\hspace{0.9cm}=(x)’+(2)’$

$\hspace{0.9cm}=1+0$

$\hspace{0.9cm}=1$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $3x+1$ , $v$ par $x+2$ , $u’$ par $3$ et $v’$ par $1$ dans la formule $u’\times v+u\times v’$

$f'(x)=3\times{(x+2)}+{(3x+1)}\times{1}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= ((3x+1)(x+2))’\\f'(x)=(3x+1)’\times{(x+2)}+(3x+1)\times{(x+2)’} \\f'(x)=3\times{(x+2)}+(3x+1)\times{1} \\f'(x)=3x+6+3x+1 \\f'(x)=6x+7

$f(x)= \frac{1}{-2x+1}$ pour $x\in \mathbf{R}$ privé de $\frac{1}{2}$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est l’inverse d’une fonction $\frac{1}{ u}$ avec $u(x)=-2x+1$ .

On va utiliser la ligne n°4 ( inverse) du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=-2x+1$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(-2x+1)’$

$u'(x)=(-2x)’+(1)’$

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer $(-2x)’$ par $-2(x)’$

$u'(x)=-2(x)’+(1)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=-2\times1+0$

$u'(x)=-2$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $-2x+1$ , $u’$ par $-2$ dans la formule $-\frac{u’}{u^2}$

$f'(x)=-\frac{-2}{(-2x+1)^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{1}{-2x+1})’\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(-2x+1)’}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(-2x)’+(1)’}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{-2(x)’+0}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{{-2}\times{1}}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{-2}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=\frac{2}{(-2x+1)^2}

$f(x)= \frac{1}{2x^2+x+4}$ pour $x\in \mathbf{R}$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est l’inverse d’une fonction $\frac{1}{ u}$ avec $u(x)=2x^2+x+4$ .

On va utiliser la ligne n°4 ( inverse) du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=2x^2+x+4$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(2x^2+x+4)’$

$u'(x)=(2x^2)’+(x)’+(4)’$

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer $(2x^2)’$ par $2(x^2)’$

$u'(x)=2(x^2)’+(x)’+(4)’$

On utilise les lignes 1 (constante) ,2 (identité) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=2\times 2x+ 1+0$

$u'(x)=4x+1$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $2x^2+x+4$ , $u’$ par $4x+1$ dans la formule $-\frac{u’}{u^2}$

$f'(x)=-\frac{4x+1}{(2x^2+x+4)^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{1}{2x^2+x+4})’\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(2x^2+x+4)’}{(2x^2+x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(2x^2)’+(x)’+(4)’}{(2x^2+x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2(x^2)’+(x)’+0}{(2x^2+x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2\times 2x+1+0}{(2x^2+x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{4x+1}{(2x^2+x+4)^2}

$f(x)= \frac{5}{x^2-1}$ pour $x\in ]1,+\infty[$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

La tentation de répondre quotient est grande, cependant le numérateur ne dépend pas de $x$ donc on va plutôt dire que c’est le produit d’un réel par une fonction.

Avec $k=5$ et $u(x)= \frac{1}{x^2-1}$

On va utiliser la ligne n°2 ( produit d’une constante par une fonction) du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)= \frac{1}{x^2-1}$ est l’inverse d’une fonction , on utilise la 4ème ligne du tableau n°1

$u'(x)= (\frac{1}{x^2-1})’$

$\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^2-1)’}{(x^2-1)^2}$

$\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^2)’-(1)’}{(x^2-1)^2}$

$\hspace{0.8cm}=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $k$ par $5$ , $u’$ par $-\frac{2x}{(x^2-1)^2}$ dans la formule $ku’$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{5}{x^2-1})’\\\hspace{0.8cm}=5(\frac{1}{x^2-1})’\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{(x^2-1)’}{(x^2-1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{(x^2)’-(1)’}{(x^2-1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{2x-0}{(x^2-1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{2x}{(x^2-1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=-\frac{10x}{(x^2-1)^2}

$f(x)= \frac{2x+1}{x+1}$ pour $x\in ]-1;+\infty[$ .

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions $\frac{u}{ v}$ avec $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x+1$ .

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=2x+1$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(2x+1)’$

$u'(x)=(2x)’+(1)’$

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer $(2x)’$ par $2(x)’$

$u'(x)=2(x)’+(1)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=2\times1+0$

$u'(x)=2$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=x+1$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$v'(x)=(x+1)’$

$v'(x)=(x)’+(1)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$v'(x)=1+0$

$v'(x)=1$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $2x+1$ , $v$ par $x+1$ , $u’$ par $2$ et $v’$ par $1$ dans la formule $\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

$f'(x)=\frac{2\times{(x+1)}-{(2x+1)}\times{1}}{(x+1)^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{2x+1}{x+1})’\\f'(x)=\frac{(2x+1)’\times{(x+3)}-{(2x+1)}\times{(x+1)’}}{(x+1)^2}\\f'(x)=\frac{2\times{(x+1)}-{(2x+1)}\times{1}}{(x+1)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{2x+2-(2x+1)}{(x+1)^2}$

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{2x+2-2x-1}{(x+1)^2}$

On réduit au numérateur

$f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$

$f(x)= \frac{3x-2}{x^2+2x+1}$ pour $x\in ]-1;+\infty[$

1.On veut calculer $f'(x)$ .

On répond à la question suivante : $f(x)$ est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C’est le quotient de deux fonctions $\frac{u}{ v}$ avec $u(x)=3x-2$ et $v(x)=x^2+2x+1$ .

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

$f(x)$ est	$f'(x)$ se calcule ainsi :
une somme $u+v$	$u’+v’$
le produit d’une constante $k$ par une fonction $u$ c’est-à-dire $ku$	$k\times u’$
un produit de deux fonctions $u\times v$	$u’\times v+u\times v’$
l’inverse d’une fonction $\frac{1}{u}$	$-\frac{u’}{u^2}$
un quotient $\frac{u}{v}$	$\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

2a.on veut calculer la dérivée $u'(x)$

$u(x)=3x-2$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$u'(x)=(3x-2)’$

$u'(x)=(3x)’-(2)’$

On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer $(3x)’$ par $3(x)’$

$u'(x)=3(x)’-(2)’$

On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$u'(x)=3\times1-0$

$u'(x)=3$

2b.on veut calculer la dérivée $v'(x)$

$v(x)=x^2+2x+1$ est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1

$v'(x)=(x^2+2x+1)’$

$v'(x)=(x^2)’+(2x)’+(1)’$

$v'(x)=(x^2)’+2(x)’+(1)’$

On utilise les lignes 1 (constante), 2 (identité) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.

$v'(x)=2x+2\times 1+0$

$v'(x)=2x+2$

Fonction	$f(x)$	Dérivable sur…	$f'(x)$
constante	$f(x)=k$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=0$
identité	$f(x)=x$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=1$
carré	$f(x)=x^2$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=2x$
cube	$f(x)=x^3$	$\mathbf{R}$	$f'(x)=3x^2$
inverse	$f(x)=\frac{1}{x}$	$\left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[$	$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
racine carrée	$f(x)=\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. On calcule la dérivée $f'(x)$

On remplace $u$ par $3x-2$ , $v$ par $x^2+2x+1$ , $u’$ par $3$ et $v’$ par $2x+2$ dans la formule $\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$

$f'(x)=\frac{3\times{(x^2+2x+1)}-{(3x-2)}\times{(2x+2)}}{(x^2+2x+1)^2}$

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{3x-2}{x^2+2x+1})’\\f'(x)=\frac{(3x-2)’\times{(x^2+2x+1)}-{(3x-2)}\times{(x^2+2x+1)’}}{(x^2+2x+1)^2}\\f'(x)=\frac{3\times{(x^2+2x+1)}-{(3x-2)}\times{(2x+2)}}{(x^2+2x+1)^2}

On développe les deux produits au numérateur. Le deuxième produit est une identité remarquable. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{3x^2+6x+3-(6x^2+6x-4x-4)}{(x^2+2x+1)^2}$

On réduit dans la parenthèse

$f'(x)=\frac{3x^2+6x+3-(6x^2+2x-4)}{(x^2+2x+1)^2}$

Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.

$f'(x)=\frac{3x^2+6x+3-6x^2-2x+4}{(x^2+2x+1)^2}$

On réduit au numérateur

$f'(x)=\frac{-3x^2+4x+7}{(x^2+2x+1)^2}$

1. Dérivation et opérations. Exercices.

Sommaire

Exercice n°1 (dérivée d’une somme)

Exercice n°2 (dérivée d’un produit)

Exercice n°3 (dérivée de l’inverse)

Exercice n°4 (dérivée d’un quotient)

Valider avec l’application Calcul Formel de géogébra