Continuité d’une fonction
Définition : Une fonction f est continue sur un intervalle I si la courbe de f est obtenue sans jamais lever le crayon de la feuille.
Le trait est obtenu sans lever le crayon, la fonction carré est continue sur l’intervalle [-2;2]
Le trait est obtenu en levant le crayon le crayon, la fonction inverse n’est pas continue sur l’intervalle [-2;2]
Propriété : Une fonction f dérivable sur un intervalle I est continue sur l’intervalle I .
Théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème :
Une fonction f est continue sur un intervalle I.
a et b désignent deux réels de I tels que a<b
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.
Illustration graphique du théorème
Dans la fenêtre Géogébra ci-dessous, f(x)=\frac{x^3-3x}{2} , a=-2.5 et b=2.5.
- Déterminer graphiquement f(a) et f(b) c’est-à-dire f(-2.5) et f(2.5)
2. En déplacant le k du graphique, déterminer une valeur de k pour laquelle f(c)=k admet
a. une solution
b. deux solutions
c. trois solutions
Propriété
On considère une fonction f définie, continue et strictement monotone ( c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante )sur un intervalle [a;b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) l’équation f(x)=k admet une unique solution ( souvent notée \alpha ) dans l’intervalle [a;b].
Remarque : cette propriété peut être étendue à tout type d’intervalle.
Illustration graphique de la propriété
Cas d’une fonction strictement croissante
Cas d’une fonction strictement décroissante
Illustration de la propriété avec un tableau de variations
Exercices
Exercice n°1
AIDE : Dans cet exercice et les suivants, il faudra calculer f'(x) vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous pour conjecturer ou vérifier votre résultat.
De plus il faudra étudier le signe de f'(x) vous pouvez cliquer sur le bouton ci-dessous pour conjecturer ou vérifier votre résultat.
Soit la fonction f définie sur [-2;4] par f(x)=\frac{1}{4}x^2+x-3.
- Calculer f'(x).
2. Etudier le signe de f'(x) sur [-2;4].
3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [-2;4].
4.a. Démontrer que l’équation f(x)=1 sur admet une solution unique notée \alpha dans l’intervalle [-2;4].
4.b. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près.
Exercice n°2
Soit la fonction f définie sur [0;4] par f(x)=e^{2x-8}.
- Calculer f'(x).
2. Etudier le signe de f'(x) sur [0;4].
3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [0;4].
4.a. Démontrer que l’équation f(x)=\frac{1}{2} sur admet une solution unique notée \alpha dans l’intervalle [0;4].
4.b. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de \alpha à 10^{-2} près.
Exercice n°3
Soit la fonction f définie sur [0;10] par f(x)=\frac{-x+2}{2x+1}.
- Calculer f'(x).
2. Etudier le signe de f'(x) sur [0;10].
3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [0;10].
4.a. Démontrer que l’équation f(x)=\sqrt{2} sur admet une solution unique notée \alpha dans l’intervalle [0;10].
4.b. A l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur de \alpha .
Exercice n°4
Soit la fonction f définie sur [-4;5] par f(x)=\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{4}-3x+1.
- Calculer f'(x).
2. Etudier le signe de f'(x) sur [-4;5].
3. Dresser le tableau de la fonction f sur l’intervalle [-4;5].
4.a. Démontrer que l’équation f(x)=0 admet trois solutions notées \alpha,\beta,\gamma dans l’intervalle [-4;5].
4.b. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée pour chaque solution à 10^{-2} près.
5. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle [-4;5].
Valider les variations avec Géogébra
On saisit par exemple f(x)=\frac{1}{4}x^2+x-3 la fonction de l’exercice n°1 dans la colonne de gauche et on lit graphiquement les variations de f sur [-2;4] puis on compare avec le tableau de variations obtenu.