Sommaire Suites de matrices colonnes Définition Une suite de matrices colonnes de taille est une fonction qui à tout entier naturel , associe une matrice colonne de taille Exemples La suite définie pour tout entier naturel par : est une suite de matrices colonnes de taille . On a, par
Sommaire Définition Soit un entier naturel non nul. On considère un graphe d’ordre (orienté ou non) dont les sommets sont numérotés de à et rangés dans l’ordre croissant. La matrice d’adjacence de ce graphe est la matrice carrée d’ordre , dont le coefficient est le nombre d’arêtes partant du sommet
Sommaire Définitions Un graphe est une représentation composée de sommets (des points) reliés par des arêtes (la plupart du temps des segments). Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes sont munies d’un sens de parcours. L’ordre d’un graphe est le nombre de sommets de ce graphe. Le degré
Sommaire Notion de matrices Définition Une matrice de taille est un tableau de nombres réels à lignes et colonnes. Le nombre réel situé sur la ème ligne et la ème colonne est noté Exemples est une matrice de taille avec , , et . est une matrice de taille avec
Théorème de Gauss Soient , et trois entiers relatifs non nuls. Si divise et et si et sont premiers entre eux alors divise Exemple n°1 On veut résoudre l’équation suivante . Comme , les nombres et sont premiers entre eux. Et comme divise D’après le théorème de Gauss, divise .
Sommaire Propriété Soient , et trois entiers relatifs non nuls. L’équation diophantienne où les inconnues et sont des entiers relatifs admet des solutions si et seulement si est un multiple du . Exemples Comme , l’équation admet au moins un couple d’entiers solutions car est un multiple de . Comme
Sommaire Nombres premiers entre eux Définition Soient et deux entiers relatifs non nuls. et sont premiers entre eux signifie que . Exemple et sont premiers entre eux car . Propriété Soient et deux entiers relatifs non nuls. Si , alors il existe deux entiers et tels que et et .
PGCD de deux entiers naturels Définition Soient et deux entiers naturels non tous les deux nuls. On note l’ensemble des diviseurs communs de et . L’ensemble contient un plus grand élément, noté . C’est le plus grand diviseur commun de de et . Exemples donc . donc . Déterminer le
Congruences Définition On dit que et sont congrus modulo signifie que et ont le même reste dans la division euclidienne par . On note ou Exemple n°1 : et sont congrus modulo car et ont le même reste : dans la division euclidienne par . On note Illustration avec la
Théorème Soient un entier relatif et un entier naturel non nul. Il existe un couple d’entiers relatifs tels que et . est le quotient et est le reste de la division de par . Exemples représente la division de par avec un quotient égal à et le reste égal à
J’écris a=… donc a^{2}=…
J’écris b=… donc b^{2}=…
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs.
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}lecture graphique de l’équation réduite de d_{1}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 3 donc b=3
A partir du point de la droite de coordonnées (0;3), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je descends de 0.25 donc a=-0.25
Je remplace a et b par -0.25 et 3 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{1} est y=-0.25x+3
lecture graphique de l’équation réduite de d_{2}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 2 donc b=2
A partir du point de la droite de coordonnées (0;2), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je ne descends pas, je ne monte pas donc a=0
Je remplace a et b par 0 et 2 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{2} est y=0x+2 \\ \hspace{3.5cm}y=2
lecture graphique de l’équation réduite de d_{3}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en -2 donc b=-2
A partir du point de la droite de coordonnées (0;-2), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je monte de 0.5 donc a=0.5
Je remplace a et b par 0.5 et -2 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{3} est y=0.5x-2
lecture graphique de l’équation réduite de d_{4}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 1 donc b=1
A partir du point de la droite de coordonnées (0;1), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je monte de 1 donc a=1
Je remplace a et b par 1 et 1 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{4} est y=1x+1 \\ \hspace{3.5cm}y=x+1
lecture graphique de l’équation réduite de d_{5}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 5 donc b=5
A partir du point de la droite de coordonnées (0;5), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je descends de 2 donc a=-2
Je remplace a et b par -2 et 5 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{5} est y=-2x+5
Réponse:
\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.
Résoudre graphiquement f(x)=1
C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.
Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.
Les antécédents sont -2 et 2.
Donc S=\{-2;2\}
Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.
