Sommaire Produit scalaire à l’espace On étend aux vecteurs de l’espace la définition du produit scalaire dans le plan vue en classe de première. Définition et sont deux vecteurs de l’espace. sont trois points de l’espace tels que et . Il existe au moins un plan contenant les points
est un carré. est le milieu du segment . est le symétrique du point par rapport à . On veut montrer que les droites et sont perpendiculaires. L’idée est d’utiliser un repère pour étudier la position des deux droites. On choisit le repère . On lit graphiquement les coordonnées des
Exercice n°1 Dans un repère orthonormé, la droite passant par et de vecteur normal a pour équation : a) b) c) d) correction Exercice n°2 Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère l’équation de cercle . Son centre a pour coordonnées : a) b)
Dans les exercices d’évaluation de fin d’année, on retrouve la trigonométrie dans des questions dans les QCM notées chacune sur un point. Remarque : en général, aucune justification n’est demandée. Exercice n°1 Soit la fonction définie sur par . Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ? a) est paire
Exercice n°1 est un triangle tel que , et . Alors a) b) c) d) correction Exercice n°2 est un carré de centre tel que . Alors a) b) c) d) correction Exercice n°3 et sont deux vecteurs orthogonaux tels que et . est égal à : a)
Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants , et . La fenêtre Géogébra est active, utilisez-la à bon escient. Calculer les distances , et . Avant de se lancer dans les calculs, mesurer la distance à l’aide de la fenêtre active de géogébra ci-dessus. Cliquer sur le 8ème
Utiliser cette fenêtre Géogébra pour faire la figure pour chaque exercice. Exercice n°1 Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le point ainsi que la droite d’équation cartésienne . On utilise la page Géogébra au début de la fiche qui permettra de faire la figure au fur
Enoncé de l’exercice On donne et . Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment . Conjecturer le résultat à l’aide de Géogébra. Pour placer les points et dans la fenêtre Géogébra ci-dessous.. Saisir dans la colonne de gauche Pour tracer la médiatrice de , cliquer sur le 4ème
Voici une fenêtre Géogébra pour traiter les exercices de la fiche. Si la fenêtre n’affiche pas les objets créés, utiliser le dernier onglet du haut à gauche qui est symbolisé par une croix. On peut ainsi modifier l’affichage du graphique. Exercice n°1 Le plan est muni d’un repère orthonormé .
Equations cartésiennes d’une droite de vecteur normal Définition Un vecteur est dit normal à une droite si est orthogonal à un vecteur directeur de la droite . Propriété : Une droite de vecteur normal a une équation cartésienne de la forme où est un nombre réel. La droite d’équation cartésienne
J’écris a=… donc a^{2}=…
J’écris b=… donc b^{2}=…
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs.
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}lecture graphique de l’équation réduite de d_{1}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 3 donc b=3
A partir du point de la droite de coordonnées (0;3), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je descends de 0.25 donc a=-0.25
Je remplace a et b par -0.25 et 3 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{1} est y=-0.25x+3
lecture graphique de l’équation réduite de d_{2}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 2 donc b=2
A partir du point de la droite de coordonnées (0;2), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je ne descends pas, je ne monte pas donc a=0
Je remplace a et b par 0 et 2 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{2} est y=0x+2 \\ \hspace{3.5cm}y=2
lecture graphique de l’équation réduite de d_{3}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en -2 donc b=-2
A partir du point de la droite de coordonnées (0;-2), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je monte de 0.5 donc a=0.5
Je remplace a et b par 0.5 et -2 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{3} est y=0.5x-2
lecture graphique de l’équation réduite de d_{4}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 1 donc b=1
A partir du point de la droite de coordonnées (0;1), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je monte de 1 donc a=1
Je remplace a et b par 1 et 1 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{4} est y=1x+1 \\ \hspace{3.5cm}y=x+1
lecture graphique de l’équation réduite de d_{5}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 5 donc b=5
A partir du point de la droite de coordonnées (0;5), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je descends de 2 donc a=-2
Je remplace a et b par -2 et 5 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{5} est y=-2x+5
Réponse:
\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.
Résoudre graphiquement f(x)=1
C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.
Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.
Les antécédents sont -2 et 2.
Donc S=\{-2;2\}
Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.
