Théorème Soient un entier relatif et un entier naturel non nul. Il existe un couple d’entiers relatifs tels que et . est le quotient et est le reste de la division de par . Exemples représente la division de par avec un quotient égal à et le reste égal à
Multiples et diviseurs d’un nombre entier relatif Définition et sont des nombres entiers relatifs. On dit que divise s’il existe un nombre entier relatif tel que Exemples divise car divise car Exercice n°1 Déterminer l’ensemble des diviseurs de dans . correction Propriétés de la divisibilité dans Z Définition ,
Petit théorème de Fermat désigne un nombre premier et un nombre entier naturel non divisible par . Alors est divisible par , c’est-à-dire que . Exemple n°1 On considère l’équation (E) 1.Justifier que est premier et n’est pas divisible par . On applique le petit théorème de Fermat. On remplace
Nombres premiers Nombres premiers Définition On dit qu’un nombre entier naturel est premier s’il admet exactement deux diviseurs et lui-même Remarques n’est pas premier car il admet une infinité de diviseurs. n’est pas premier car il n’admet qu’un seul diviseur. est le seul nombre pair premier car
Sommaire Existence et unicité d’une décomposition Propriété Tout entier naturel est premier ou produit de nombres premiers. Méthode n°1 : pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers par le calcul. On se propose de décomposer en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers. Voici les
Sommaire Définition : forme exponentielle d’un nombre complexe Définition Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme où est le module de et un argument de . Cette écriture est appelée forme exponentielle de . Exemple n°1 Soit le complexe . On a et donc . Exemple n°2 Soit
Sommaire On pourra utiliser cette fenêtre Géogébra pour construire les figures des différents exercices. Module et argument de b-a Dans cette fiche, le plan est muni du repère orthonormé . Propriétés et sont deux points d’affixes respectives et . On a : et Exercice n°1 Calculer l’affixe du vecteur
Sommaire Formules d’addition Propriétés : formules d’addition Pour tous réels et , Exemple n°1 on se propose de calculer et . Calculer 2. En déduire a. On remplace par et par dans On utilise le tableau suivant pour poursuivre le calcul b. On remplace par et par dans On utilise
Sommaire Définition : Argument d’un complexe. Soit un nombre complexe et le point d’affixe . Un argument de est une mesure en radian de l’angle orienté , on le note Déterminer un argument d’un complexe à l’aide de Géogébra : exemple n°1 Soit le complexe suivant . Placer les points
Définition du module d’un complexe est un nombre de forme algébrique avec et . Le module de est le nombre réel positif noté défini par Exemple Calculons le module du nombre complexe On remplace par la partie rélle de qui vaut et par la partie imaginaire de qui vaut dans
J’écris a=… donc a^{2}=…
J’écris b=… donc b^{2}=…
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs.
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}lecture graphique de l’équation réduite de d_{1}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 3 donc b=3
A partir du point de la droite de coordonnées (0;3), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je descends de 0.25 donc a=-0.25
Je remplace a et b par -0.25 et 3 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{1} est y=-0.25x+3
lecture graphique de l’équation réduite de d_{2}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 2 donc b=2
A partir du point de la droite de coordonnées (0;2), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je ne descends pas, je ne monte pas donc a=0
Je remplace a et b par 0 et 2 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{2} est y=0x+2 \\ \hspace{3.5cm}y=2
lecture graphique de l’équation réduite de d_{3}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en -2 donc b=-2
A partir du point de la droite de coordonnées (0;-2), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je monte de 0.5 donc a=0.5
Je remplace a et b par 0.5 et -2 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{3} est y=0.5x-2
lecture graphique de l’équation réduite de d_{4}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 1 donc b=1
A partir du point de la droite de coordonnées (0;1), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je monte de 1 donc a=1
Je remplace a et b par 1 et 1 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{4} est y=1x+1 \\ \hspace{3.5cm}y=x+1
lecture graphique de l’équation réduite de d_{5}
Barême : 0.5 point pour a juste et 0.5 point pour b juste
La droite coupe l’axe des ordonnées en 5 donc b=5
A partir du point de la droite de coordonnées (0;5), j’avance horizontalement de 1 vers la droite. Pour retomber sur la droite, je descends de 2 donc a=-2
Je remplace a et b par -2 et 5 et dans l’équation y=ax+b et donc :
L’équation réduite de d_{5} est y=-2x+5
Réponse:
\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{HG}.
Résoudre graphiquement f(x)=1
C’est une autre façon de demander de déterminer graphiquement les antécédents de 1.
Je place 1 sur l’axe des ordonnées, je trace alors la parallèle à l’axe des abscisses passant par 1 toute entière. Je repère les points d’intersection avec la courbe. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1.
Les antécédents sont -2 et 2.
Donc S=\{-2;2\}
Remarque : comme on demande de résoudre une équation, il faut écrire ainsi l’ensemble des solutions.
